ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном значении \( n \) значение выражения

\(
\frac{n}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n^3}{6}
\)

является натуральным числом.

Доказать, что при любом натуральном \( n \):

\(
\frac{n}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n^3}{6} \in \mathbb{N}
\)

Требуется доказать, что:

\(
\frac{n}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n^3}{6} = \frac{2n + 3n^2 + n^3}{6} = \frac{n(2 + 3n + n^2)}{6} =
\)
\(
= \frac{n(2 + 2n + n + n^2)}{6} = \frac{n(2(n+1) + n(n+1))}{6} =
\)
\(
= \frac{n(n+1)(n+2)}{6} \in \mathbb{N}
\)

Одно из чисел \( n \), \( (n+1) \), \( (n+2) \) кратно трём, а также, по крайней мере, одно число кратно двум, значит их произведение кратно шести;

Что и требовалось доказать.

Доказать, что при любом натуральном \( n \):

\(
\frac{n}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n^3}{6} \in \mathbb{N}
\)

Рассмотрим выражение:

\(
\frac{n}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n^3}{6}
\)

Приведём все слагаемые к общему знаменателю 6:

\(
\frac{n}{3} = \frac{2n}{6}
\)

\(
\frac{n^2}{2} = \frac{3n^2}{6}
\)

\(
\frac{n^3}{6} = \frac{n^3}{6}
\)

Сложим полученные дроби:

\(
\frac{2n}{6} + \frac{3n^2}{6} + \frac{n^3}{6} = \frac{2n + 3n^2 + n^3}{6}
\)

Вынесем \( n \) за скобку в числителе:

\(
\frac{2n + 3n^2 + n^3}{6} = \frac{n(2 + 3n + n^2)}{6}
\)

Преобразуем выражение в скобках:

\(
2 + 3n + n^2 = n^2 + 3n + 2
\)

Заметим, что это квадратный трёхчлен, который можно разложить на множители:

\(
n^2 + 3n + 2 = (n + 1)(n + 2)
\)

Таким образом, имеем:

\(
\frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}
\)

Теперь рассмотрим делимость числителя на 6. Произведение трёх последовательных натуральных чисел \( n, n+1, n+2 \) всегда делится на 6, потому что:

1. Среди трёх последовательных чисел обязательно есть хотя бы одно чётное, то есть делится на 2.
2. Среди трёх последовательных чисел обязательно есть хотя бы одно число, делящееся на 3.

Следовательно, произведение \( n(n + 1)(n + 2) \) делится на \( 2 \cdot 3 = 6 \), а значит, выражение

\(
\frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}
\)

является натуральным числом при любом натуральном \( n \).

Что и требовалось доказать.