ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.201 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что

\(
\frac{\sqrt{21 + 8\sqrt{5}}}{4 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt{9 — 4\sqrt{5}} = \sqrt{5} — 2.
\)

Доказать равенство:

\(
\frac{\sqrt{21 + 8\sqrt{5}}}{4 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt{9 — 4\sqrt{5}} = \sqrt{5} — 2;
\)
\(
\frac{\sqrt{16 + 8\sqrt{5} + 5}}{4 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt{5 — 4\sqrt{5} + 4} = \sqrt{5} — 2;
\)
\(
\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{5})^2}}{4 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt{(\sqrt{5} — 2)^2} = \sqrt{5} — 2;
\)
\(
\frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}} \cdot (\sqrt{5} — 2) = \sqrt{5} — 2;
\)
\(
\sqrt{5} — 2 = \sqrt{5} — 2;
\)

Равенство доказано.

Доказать равенство:

\(
\frac{\sqrt{21 + 8\sqrt{5}}}{4 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt{9 — 4\sqrt{5}} = \sqrt{5} — 2.
\)

Сначала упростим выражение слева:

\(
= \frac{\sqrt{21 + 8\sqrt{5}}}{4 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt{(3 — 2)^2} = \frac{\sqrt{21 + 8\sqrt{5}}}{4 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt{(3 — 2)^2}.
\)

Теперь упростим подкоренные выражения:

\(
= \frac{\sqrt{16 + 8\sqrt{5} + 5}}{4 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt{(3 — 2)^2}.
\)

Преобразуем \(9 — 4\sqrt{5}\):

\(
= \frac{\sqrt{(4 + \sqrt{5})^2}}{4 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt{(\sqrt{5} — 2)^2}.
\)

Теперь у нас есть:

\(
= \frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}} \cdot (\sqrt{5} — 2).
\)

Сократим дробь:

\(
= 1 \cdot (\sqrt{5} — 2).
\)

Таким образом, у нас получается:

\(
= \sqrt{5} — 2.
\)

Теперь мы видим, что обе стороны равенства совпадают:

\(
\sqrt{5} — 2 = \sqrt{5} — 2.
\)

Равенство доказано.