ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.203 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение

\(
\frac{\sqrt{a^3 — 2a^2 + a} + \frac{4a\sqrt{a}}{(1 — a)^2}}{\frac{a^3}{(a — 1)} — \left(\frac{1 — a}{\sqrt{a}}\right)^{-1}}.
\)

Упростить выражение:

\(
\left(\sqrt{a^3 — 2a^2 + a} + \frac{4a \sqrt{a}}{\sqrt{(1 — a)^2}}\right) : \left(\frac{\sqrt{a^3}}{a — 1} — \left(\frac{1 — a}{\sqrt{a}}\right)^{-1}\right) =
\)

\(
= \left(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a^2 — 2a + 1} + \frac{4a \sqrt{a}}{|1 — a|}\right) : \left(\frac{a \sqrt{a}}{a — 1} — \frac{\sqrt{a}}{1 — a}\right) =
\)

\(
= \left(\sqrt{a} \cdot |a — 1| + \frac{4a \sqrt{a}}{|a — 1|}\right) : \frac{a \sqrt{a} + \sqrt{a}}{a — 1} =
\)

\(
= \frac{\sqrt{a} (a — 1)^2 + 4a \sqrt{a}}{|a — 1|} \cdot \frac{a — 1}{\sqrt{a} (a + 1)} =
\)

\(
= \frac{\sqrt{a} (a^2 — 2a + 1 + 4a) \cdot (a — 1)}{|a — 1| \cdot \sqrt{a} (a + 1)} =
\)

\(
= \frac{(a^2 + 2a + 1)(a — 1)}{|a — 1| (a + 1)} = \frac{(a + 1)(a — 1)}{|a — 1|};
\)

1) Если \(a > 1\), тогда:

\(
X = \frac{(a + 1)(a — 1)}{a — 1} = a + 1;
\)

2) Если \(0 < a < 1\), тогда:

\(
X = \frac{(a + 1)(a — 1)}{1 — a} = -a — 1;
\)

Ответ:
если \(a > 1\), то \(a + 1\);
если \(0 < a < 1\), то \(-a — 1\).

Упростить выражение:

\(
\left(\sqrt{a^3 — 2a^2 + a} + \frac{4a \sqrt{a}}{\sqrt{(1 — a)^2}}\right) : \left(\frac{\sqrt{a^3}}{a — 1} — \left(\frac{1 — a}{\sqrt{a}}\right)^{-1}\right) =
\)

Сначала упростим числитель:

\(
= \left(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a^2 — 2a + 1} + \frac{4a \sqrt{a}}{|1 — a|}\right).
\)

Здесь \( \sqrt{(1 — a)^2} = |1 — a| \) из-за свойства модуля.

Теперь упростим знаменатель:

\(
= \left(\frac{a \sqrt{a}}{a — 1} — \frac{\sqrt{a}}{1 — a}\right).
\)

Обратите внимание, что \( \frac{\sqrt{a}}{1 — a} = -\frac{\sqrt{a}}{a — 1} \), поэтому:

\(
= \frac{a \sqrt{a}}{a — 1} + \frac{\sqrt{a}}{a — 1} = \frac{a \sqrt{a} + \sqrt{a}}{a — 1}.
\)

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение:

\(
= \left(\sqrt{a} \cdot |a — 1| + \frac{4a \sqrt{a}}{|a — 1|}\right) : \frac{a \sqrt{a} + \sqrt{a}}{a — 1}.
\)

Теперь запишем это как дробь:

\(
= \frac{\sqrt{a} |a — 1| + \frac{4a \sqrt{a}}{|a — 1|}}{\frac{(a \sqrt{a} + \sqrt{a})}{(a — 1)}}.
\)

Теперь умножим на обратное значение знаменателя:

\(
= \frac{\left(\sqrt{a} |a — 1| + 4a \sqrt{a}\right)(a — 1)}{|a — 1| (a \sqrt{a} + \sqrt{a})}.
\)

Упростим числитель:

\(
= \frac{\sqrt{a} (|a — 1|(a — 1) + 4a)}{|a — 1| (a + 1)}.
\)

Теперь у нас есть:

\(
= \frac{\sqrt{a} (|a — 1| (a^2 — 2a + 1) + 4a)}{|a — 1| (a + 1)}.
\)

Упрощаем \( |a — 1|(a^2 — 2a + 1) = (a^2 + 2a + 1)(a — 1) = (a + 1)(a — 1) \).

Таким образом, получаем:

\(
= \frac{(a + 1)(a — 1)}{|a — 1|}.
\)

Теперь рассмотрим два случая:

1) Если \( a > 1 \):

\(
X = \frac{(a + 1)(a — 1)}{(a — 1)} = a + 1.
\)

2) Если \( 0 < a < 1 \):

\(
X = \frac{(a + 1)(a — 1)}{(1 — a)} = — (a + 1).
\)

Итак, окончательный ответ:

если \( a > 1 \), то \( X = a + 1 \);
если \( 0 < a < 1 \), то \( X = — (a + 1) \).