ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.205 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение

\(
\left(\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x} — \sqrt{1 — x}} + \frac{1 — x}{\sqrt{1 — x^2} + x — 1}\right) \cdot \left(\sqrt{x^{-2} — 1} — \frac{1}{x}\right), \quad \text{если } 0 < x < 1.
\)

Упростить выражение: \(0 < x < 1\);

\(
\left(\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x} — \sqrt{1 — x}} + \frac{1 — x}{\sqrt{1 — x^2} + x — 1}\right) :
\)

\(
= \left(\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x} — \sqrt{1 — x}} + \frac{1 — x}{\sqrt{1 — x}(\sqrt{1 — x} — \sqrt{1 — x})}\right) : \left(\sqrt{\frac{1}{x^2}} — 1 — \frac{1}{x}\right) =
\)

\(
= \frac{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 — x}}{\sqrt{1 + x} — \sqrt{1 — x}} \cdot \left(\sqrt{\frac{1 — x^2}{x^2}} — \frac{1}{x}\right) =
\)

\(
= \frac{(1 + x) — (1 — x)}{(1 + x) — 2\sqrt{(1 + x)(1 — x)} + (1 — x)} \cdot \left(\frac{\sqrt{1 — x^2}}{x} — \frac{1}{x}\right) =
\)

\(
= \frac{2x}{2 — 2\sqrt{1 — x^2}} \cdot \frac{\sqrt{1 — x^2} — 1}{x} = \frac{x}{1 — \sqrt{1 — x^2}} \cdot \frac{\sqrt{1 — x^2} — 1}{x} = -1;
\)

Ответ: \(-1\).

Упростить выражение: \(0 < x < 1\);

\(
\left(\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x} — \sqrt{1 — x}} + \frac{1 — x}{\sqrt{1 — x^2} + x — 1}\right) :
\)

Сначала упростим каждую дробь в скобках.

Первая дробь:

\(
\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x} — \sqrt{1 — x}}.
\)

Вторая дробь:

\(
\frac{1 — x}{\sqrt{1 — x^2} + x — 1}.
\)

Теперь подставим упрощенные дроби обратно в выражение:

\(
= \left(\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x} — \sqrt{1 — x}} + \frac{1 — x}{\sqrt{1 — x^2} + x — 1}\right) :
\)

Теперь упростим знаменатель второй дроби:

\(
\sqrt{1 — x^2} = \sqrt{(1 — x)(1 + x)},
\)

поэтому:

\(
= \left(\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x} — \sqrt{1 — x}} + \frac{1 — x}{\sqrt{(1 — x)(1 + x)} + x — 1}\right).
\)

Теперь объединим дроби:

\(
= \frac{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 — x}}{\sqrt{1 + x} — \sqrt{1 — x}} \cdot \left(\sqrt{\frac{1 — x^2}{x^2}} — \frac{1}{x}\right).
\)

Теперь упростим выражение в первой части:

\(
= \frac{(1 + x) — (1 — x)}{(1 + x) — 2\sqrt{(1 + x)(1 — x)} + (1 — x)} \cdot \left(\frac{\sqrt{1 — x^2}}{x} — \frac{1}{x}\right).
\)

Упростим числитель:

\(
= \frac{2x}{(1 + x) — 2\sqrt{(1 + x)(1 — x)} + (1 — x)}.
\)

Теперь упростим знаменатель:

\(
= 2 — 2\sqrt{(1 + x)(1 — x)}.
\)

Теперь подставим это обратно в выражение:

\(
= \frac{2x}{2 — 2\sqrt{1 — x^2}} \cdot \left(\frac{\sqrt{1 — x^2}}{x} — \frac{1}{x}\right).
\)

Упрощаем дальше:

\(
= \frac{x}{1 — \sqrt{1 — x^2}} \cdot \frac{\sqrt{1 — x^2} — 1}{x}.
\)

Теперь заметим, что \( \frac{x}{x} = 1 \):

\(
= \frac{\sqrt{1 — x^2} — 1}{1 — \sqrt{1 — x^2}}.
\)

Таким образом, окончательный результат будет:

\(
= -1.
\)

Ответ: \(-1\).