ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.206 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение

\(
\left(\frac{(\sqrt{a^3} — \sqrt{8})(\sqrt{a} + \sqrt{2})}{a + \sqrt{2a} + 2}\right)^2 + \sqrt{(a^2 + 2)^2 — 8a^2}.
\)

Упростить выражение:

\(
\left(\frac{\sqrt{a^3} — \sqrt{8}}{a + \sqrt{2a} + 2} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{2})\right)^2 + \sqrt{(a^2 + 2)^2 — 8a^2} =
\)

\(
= \left(\frac{(\sqrt{a} — \sqrt{2})(a + \sqrt{2a} + 2)(\sqrt{a} + \sqrt{2})}{(a + \sqrt{2a} + 2)^2}\right)^2 + \sqrt{(a^2 + 2)^2 — 8a^2} =
\)

\(
= (\sqrt{a} — \sqrt{2})^2 (\sqrt{a} + \sqrt{2})^2 + \sqrt{a^4 + 4a^2 + 4 — 8a^2} =
\)

\(
= (a — 2)^2 + \sqrt{a^4 — 4a^2 + 4} = (a — 2)^2 + \sqrt{(a^2 — 2)^2} =
\)

\(
= (a^2 — 4a + 4) + |a^2 — 2|;
\)

1) Если \(a \geq \sqrt{2}\), тогда:

\(
(a^2 — 4a + 4) + (a^2 — 2) = 2(a — 1)^2;
\)

2) Если \(0 \leq a < \sqrt{2}\), тогда:

\(
(a^2 — 4a + 4) + (2 — a^2) = 6 — 4a;
\)

Ответ:
если \(a \geq \sqrt{2}\), то \(2(a — 1)^2\);
если \(0 \leq a < \sqrt{2}\), то \(6 — 4a\).

Упростить выражение:

\(
\left(\frac{\sqrt{a^3} — \sqrt{8}}{a + \sqrt{2a} + 2} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{2})\right)^2 + \sqrt{(a^2 + 2)^2 — 8a^2} =
\)

Сначала упростим первую часть выражения:

\(
= \left(\frac{\sqrt{a^3} — \sqrt{8}}{a + \sqrt{2a} + 2} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{2})\right)^2.
\)

Здесь можно заметить, что \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), поэтому:

\(
= \left(\frac{\sqrt{a^3} — 2\sqrt{2}}{a + \sqrt{2a} + 2} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{2})\right)^2.
\)

Теперь упростим числитель:

\(
= \left(\frac{(\sqrt{a} — \sqrt{2})(\sqrt{a^3} + 2\sqrt{2})}{a + \sqrt{2a} + 2}\right)^2.
\)

Теперь упростим знаменатель:

\(
= a + \sqrt{2a} + 2.
\)

Теперь подставим все обратно в выражение:

\(
= \left(\frac{(\sqrt{a} — \sqrt{2})(a + \sqrt{2a} + 2)}{(a + \sqrt{2a} + 2)^2}\right)^2 + \sqrt{(a^2 + 2)^2 — 8a^2}.
\)

Теперь упростим вторую часть выражения:

\(
= (a^2 + 4 — 8a^2) = a^4 — 4a^2 + 4.
\)

Теперь подставим это обратно:

\(
= (\sqrt{(a — 2)^2})^2 + (a — 2)^2 = (a — 2)^2 + |a^2 — 2|.
\)

Теперь рассмотрим два случая:

1) Если \(a \geq \sqrt{2}\), тогда:

\(
(a^2 — 4a + 4) + (a^2 — 2) = 2(a — 1)^2.
\)

2) Если \(0 \leq a < \sqrt{2}\), тогда:

\(
(a^2 — 4a + 4) + (2 — a^2) = 6 — 4a.
\)

Таким образом, ответ будет:

Если \(a \geq \sqrt{2}\), то \(2(a — 1)^2\);
если \(0 \leq a < \sqrt{2}\), то \(6 — 4a\).