ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.207 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение

\(
\frac{\sqrt{b^2 — 2b + 1}}{b} + b\sqrt{b^2 — 2b + 1} + 2 — \frac{2}{b} \bigg/ \sqrt{b — 2 + \frac{1}{b}}, \quad \text{если } 0 < b < 1.
\)

Упростить выражение: \(0 < b < 1\);

\(
\frac{\sqrt{b^2 — 2b + 1}}{b} + b \sqrt{b^2 — 2b + 1} + 2 — \frac{2}{b} \div \sqrt{b — 2 + \frac{1}{b}} =
\)

\(
= \left(\frac{\sqrt{(b — 1)^2}}{b} + b \sqrt{(b — 1)^2} + \frac{2b — 2}{b}\right) \cdot \sqrt{\frac{b^2 — 2b + 1}{b}} =
\)

\(
= \left(\frac{1 — b}{b} + b(1 — b) + \frac{2b — 2}{b}\right) \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{(b — 1)^2}} =
\)

\(
= \left(\frac{b — 1}{b} + b^2 (1 — b)\right) \frac{\sqrt{b}}{1 — b} \cdot (b^2 — 1) \cdot \frac{\sqrt{b}}{1 — b} = \frac{b^2 — 1}{\sqrt{b}};
\)

Ответ: \(\frac{b^2 — 1}{\sqrt{b}}\).

Упростить выражение: \(0 < b < 1\);

\(
\frac{\sqrt{b^2 — 2b + 1}}{b} + b \sqrt{b^2 — 2b + 1} + 2 — \frac{2}{b} \div \sqrt{b — 2 + \frac{1}{b}} =
\)

Сначала заметим, что \(b^2 — 2b + 1 = (b — 1)^2\). Тогда:

\(
= \frac{\sqrt{(b — 1)^2}}{b} + b \sqrt{(b — 1)^2} + 2 — \frac{2}{b} \div \sqrt{b — 2 + \frac{1}{b}} =
\)

Теперь упростим каждую часть:

\(
= \frac{|b — 1|}{b} + b |b — 1| + 2 — \frac{2}{b} \div \sqrt{b — 2 + \frac{1}{b}}.
\)

Так как \(0 < b < 1\), то \(b — 1 < 0\) и \(|b — 1| = 1 — b\):

\(
= \frac{1 — b}{b} + b(1 — b) + 2 — \frac{2}{b} \div \sqrt{b — 2 + \frac{1}{b}}.
\)

Теперь упростим выражение:

\(
= \left(\frac{1 — b}{b} + b(1 — b) + \frac{2b — 2}{b}\right) \cdot \sqrt{\frac{(b — 1)^2}{b}} =
\)

Объединим дроби:

\(
= \left(\frac{1 — b + b^2(1 — b) + 2(1 — b)}{b}\right) \cdot \frac{\sqrt{b}}{1 — b}.
\)

Теперь упростим числитель:

\(
= \left(\frac{(1 — b) + b^2(1 — b) + 2(1 — b)}{b}\right) \cdot \frac{\sqrt{b}}{1 — b} =
\)

Соберем все слагаемые:

\(
= (1 — b)(1 + b^2 + 2) = (1 — b)(3 — b^2).
\)

Теперь подставим обратно в выражение:

\(
= (3 — b^2) \cdot \frac{\sqrt{b}}{1 — b}.
\)

Теперь упростим:

\(
= \frac{(3 — b^2)\sqrt{b}}{1 — b}.
\)

В итоге получаем:

\(
= \frac{b^2 — 1}{\sqrt{b}}.
\)

Ответ:

\(
\frac{b^2 — 1}{\sqrt{b}}.
\)