ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.208 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение

\(
\frac{a + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} : \left(\frac{a + b}{a — b} — \frac{b}{b — \sqrt{ab}} + \frac{a}{\sqrt{ab} + a}\right) — \frac{\sqrt{a + b — 2\sqrt{ab}}}{2}.
\)

Упростить выражение: \(0 < b < 1\);

\(
\frac{\sqrt{b^2 — 2b + 1}}{b} + b \sqrt{b^2 — 2b + 1} + 2 — \frac{2}{b} \div \sqrt{b — 2 + \frac{1}{b}} =
\)

\(
= \left(\frac{\sqrt{(b — 1)^2}}{b} + b \sqrt{(b — 1)^2} + \frac{2b — 2}{b}\right) \cdot \sqrt{\frac{b^2 — 2b + 1}{b}} =
\)

\(
= \left(\frac{1 — b}{b} + b(1 — b) + \frac{2b — 2}{b}\right) \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{(b — 1)^2}} =
\)

\(
= \left(\frac{b — 1}{b} + b^2 (1 — b)\right) \frac{\sqrt{b}}{1 — b} \cdot (b^2 — 1) \cdot \frac{\sqrt{b}}{1 — b} = \frac{b^2 — 1}{\sqrt{b}};
\)

Ответ: \(\frac{b^2 — 1}{\sqrt{b}}\).

Упростить выражение: \(0 < b < 1\);

\(
\frac{\sqrt{b^2 — 2b + 1}}{b} + b \sqrt{b^2 — 2b + 1} + 2 — \frac{2}{b} \div \sqrt{b — 2 + \frac{1}{b}} =
\)

Сначала заметим, что \(b^2 — 2b + 1 = (b — 1)^2\). Тогда:

\(
= \frac{\sqrt{(b — 1)^2}}{b} + b \sqrt{(b — 1)^2} + 2 — \frac{2}{b} \div \sqrt{b — 2 + \frac{1}{b}} =
\)

Теперь упростим каждую часть:

\(
= \frac{|b — 1|}{b} + b |b — 1| + 2 — \frac{2}{b} \div \sqrt{b — 2 + \frac{1}{b}}.
\)

Так как \(0 < b < 1\), то \(b — 1 < 0\) и \(|b — 1| = 1 — b\):

\(
= \frac{1 — b}{b} + b(1 — b) + 2 — \frac{2}{b} \div \sqrt{b — 2 + \frac{1}{b}}.
\)

Теперь упростим вторую часть. Заменим \(b — 2 + \frac{1}{b}\):

\(
= b — 2 + \frac{1}{b} = \frac{b^2 — 2b + 1}{b} = \frac{(b — 1)^2}{b}.
\)

Теперь подставим это обратно:

\(
= \frac{1 — b}{b} + b(1 — b) + 2 — \frac{2}{b} \div \sqrt{\frac{(b — 1)^2}{b}}.
\)

Теперь упростим:

\(
= \frac{1 — b}{b} + b(1 — b) + 2 — \frac{2}{b} \cdot \frac{\sqrt{b}}{|b — 1|}.
\)

Так как \(0 < b < 1\), то мы можем заменить \(|b — 1|\) на \(1 — b\):

\(
= \frac{1 — b}{b} + b(1 — b) + 2 — \frac{2\sqrt{b}}{(1 — b)b}.
\)

Теперь объединим дроби:

\(
= \left(\frac{(1-b) + b^2(1-b) + 2(1-b)}{b}\right).
\)

Теперь упростим это выражение:

\(
= \left(\frac{(1-b)(1+b) + 2(1-b)}{b}\right).
\)

После упрощения мы получаем:

\(
= (1-b) \cdot (1+b) = (b^2-1).
\)

Итак, подставив все обратно, мы имеем:

\(
= (b^2-1) \cdot \frac{\sqrt{b}}{(1-b)} = \frac{(b^2-1)}{\sqrt{b}}.
\)

Ответ:

\(\frac{b^2 — 1}{\sqrt{b}}\).