ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.209 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение

\(
\frac{1 + (a + \sqrt{a^2 — 1})^2 (b + \sqrt{(b^2 — 1)^2})}{(a + \sqrt{a^2 — 1})(b + \sqrt{b^2 — 1})}.
\)

Упростить выражение:

\(
\frac{1 + (a + \sqrt{a^2 — 1})^2 (b + \sqrt{b^2 — 1})^2}{(a + \sqrt{a^2 — 1})(b + \sqrt{b^2 — 1})} =
\)

\(
= \frac{(a — \sqrt{a^2 — 1})(b — \sqrt{b^2 — 1}) + (a + \sqrt{a^2 — 1})(b + \sqrt{b^2 — 1})}{(a^2 — (a^2 — 1))(b^2 — (b^2 — 1))} =
\)

\(
= \frac{2ab + 2 \sqrt{(a^2 — 1)(b^2 — 1)}}{1 \cdot 1} = 2 \left( ab + \sqrt{a^2 — 1} \cdot \sqrt{b^2 — 1} \right);
\)

Ответ:
\(
2 \left( ab + \sqrt{a^2 — 1} \cdot \sqrt{b^2 — 1} \right).
\)

Упростить выражение:

\(
\frac{1 + (a + \sqrt{a^2 — 1})^2 (b + \sqrt{b^2 — 1})^2}{(a + \sqrt{a^2 — 1})(b + \sqrt{b^2 — 1})} =
\)

Сначала упростим числитель. Мы можем записать:

\(
= \frac{1 + (a + \sqrt{a^2 — 1})^2 (b + \sqrt{b^2 — 1})^2}{(a + \sqrt{a^2 — 1})(b + \sqrt{b^2 — 1})}.
\)

Теперь рассмотрим выражение \((a + \sqrt{a^2 — 1})(b + \sqrt{b^2 — 1})\) и его связь с другими частями:

\(
= \frac{(a — \sqrt{a^2 — 1})(b — \sqrt{b^2 — 1}) + (a + \sqrt{a^2 — 1})(b + \sqrt{b^2 — 1})}{(a^2 — (a^2 — 1))(b^2 — (b^2 — 1))}.
\)

Здесь использованы свойства разности квадратов:

\(
= \frac{(a^2 — (a^2 — 1))(b^2 — (b^2 — 1))} = \frac{1}{1} = 1.
\)

Теперь подставим это обратно в выражение:

\(
= \frac{(a — \sqrt{a^2 — 1})(b — \sqrt{b^2 — 1}) + (a + \sqrt{a^2 — 1})(b + \sqrt{b^2 — 1})}{1} =
\)

Теперь упростим числитель:

\(
= (a — \sqrt{a^2 — 1})(b — \sqrt{b^2 — 1}) + (a + \sqrt{a^2 — 1})(b + \sqrt{b^2 — 1}).
\)

Раскроем скобки:

\(
= ab — a\sqrt{b^2 — 1} — b\sqrt{a^2 — 1} + \sqrt{(a^2 — 1)(b^2 — 1)} + ab +
\)
\(
+ a\sqrt{b^2 — 1} + b\sqrt{a^2 — 1} + \sqrt{(a^2 — 1)(b^2 — 1)}.
\)

Сложим подобные члены:

\(
= 2ab + 2\sqrt{(a^2 — 1)(b^2 — 1)}.
\)

Теперь подставим это в общее выражение:

\(
= \frac{2ab + 2\sqrt{(a^2 — 1)(b^2 — 1)}}{1} = 2(ab + \sqrt{(a^2 — 1)(b^2 — 1)}).
\)

Ответ:

\(
= 2(ab + \sqrt{a^2 — 1} \cdot \sqrt{b^2 — 1}).
\)