ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сумма пяти натуральных чисел равна 200. Может ли последняя цифра их произведения быть равной 7?

Сумма пяти натуральных чисел равна 200;
Последняя цифра произведения равна 7:

\(
a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e = \ldots 7
\)
— нечетное число;

\(
a,\, b,\, c,\, d,\, e \text{ — нечетные числа;}
\)

\(
a + b \text{ — чётное число;}
\)

\(
c + d \text{ — чётное число;}
\)

\(
a + b + c + d \text{ — чётное число;}
\)

\(
a + b + c + d + e \text{ — нечётное число;}
\)

Ответ: нет.

Рассмотрим задачу подробно.

Дано:
Сумма пяти натуральных чисел равна 200:

\(
a + b + c + d + e = 200
\)

Последняя цифра произведения равна 7:

\(
a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e = \ldots 7
\)

То есть произведение заканчивается на 7, а значит, оно нечетное. Следовательно, все множители должны быть нечетными числами:

\(
a,\, b,\, c,\, d,\, e \text{ — нечетные числа}
\)

Рассмотрим сумму пяти нечетных чисел. Сумма двух нечетных чисел всегда четна:

\(
\text{Если } x,\, y \text{ — нечетные, то } x + y \text{ — четное}
\)

Сумма четырёх нечетных чисел также четна:

\(
\text{Если } x,\, y,\, z,\, w \text{ — нечетные, то } x + y + z + w \text{ — четное}
\)

Добавим ещё одно нечетное число:

\(
\text{Если } x + y + z + w \text{ — четное, то } x + y + z + w + v \text{ — нечетное}
\)

То есть сумма пяти нечетных чисел всегда нечетна.

Но по условию задачи:

\(
a + b + c + d + e = 200
\)

200 — чётное число.

Таким образом, сумма пяти нечетных чисел не может быть четным числом. Противоречие.

Следовательно, таких чисел не существует.

Ответ: нет.