ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.210 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение

\(
\frac{b^2 — 3b — (b — 1)\sqrt{b^2 — 4} + 2}{b^2 + 3b — (b + 1)\sqrt{b^2 — 4} + 2} \cdot \sqrt{\frac{b + 2}{b — 2}} \quad \text{при } b > 2.
\)

Упростить выражение: \(b > 2\);

\(
\frac{b^2 — 3b — (b — 1) \sqrt{b^2 — 4} + 2}{b^2 + 3b — (b + 1) \sqrt{b^2 — 4} + 2} \cdot \sqrt{\frac{b + 2}{b — 2}} =
\)

\(
= \frac{b(b — 1) — (b — 1) \sqrt{b^2 — 4} — 2(b — 1)}{b(b + 1) — (b + 1) \sqrt{b^2 — 4} + 2(b + 1)} \cdot \sqrt{\frac{b + 2}{b — 2}} =
\)

\(
= \frac{(b — 1)(b — \sqrt{b^2 — 4} — 2)}{(b + 1)(b — \sqrt{b^2 — 4} + 2)} \cdot \sqrt{\frac{b + 2}{b — 2}} =
\)

\(
= (b — 1) \cdot \frac{\sqrt{b — 2} \left(\sqrt{b — 2} — \sqrt{b + 2}\right)}{\sqrt{b + 2} \left(\sqrt{b + 2} — \sqrt{b — 2}\right)} \cdot \sqrt{\frac{b + 2}{b — 2}} = \frac{1 — b}{b + 1};
\)

Ответ:
\(
\frac{1 — b}{b + 1}.
\)

Упростить выражение: \(b > 2\);

\(
\frac{b^2 — 3b — (b — 1) \sqrt{b^2 — 4} + 2}{b^2 + 3b — (b + 1) \sqrt{b^2 — 4} + 2} \cdot \sqrt{\frac{b + 2}{b — 2}} =
\)

Сначала упростим числитель:

\(
= \frac{b^2 — 3b + 2 — (b — 1) \sqrt{b^2 — 4}}{b^2 + 3b + 2 — (b + 1) \sqrt{b^2 — 4}} \cdot \sqrt{\frac{b + 2}{b — 2}}.
\)

Теперь упростим каждую часть:

Для числителя:

\(
= \frac{(b^2 — 3b + 2) — (b — 1) \sqrt{b^2 — 4}}{(b^2 + 3b + 2) — (b + 1) \sqrt{b^2 — 4}}.
\)

Здесь мы можем выразить \(b^2 — 3b + 2\) и \(b^2 + 3b + 2\):

\(
= \frac{(b — 1)(b — 2) — (b — 1) \sqrt{b^2 — 4}}{(b + 1)(b + 2) — (b + 1) \sqrt{b^2 — 4}}.
\)

Теперь вынесем общий множитель:

\(
= \frac{(b — 1)(b — 2 — \sqrt{b^2 — 4})}{(b + 1)(b + 2 — \sqrt{b^2 — 4})}.
\)

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\(
= (b — 1) \cdot \frac{\sqrt{b — 2} \left(\sqrt{b — 2} — \sqrt{b + 2}\right)}{\sqrt{b + 2} \left(\sqrt{b + 2} — \sqrt{b — 2}\right)} \cdot \sqrt{\frac{b + 2}{b — 2}}.
\)

Упростим это выражение:

\(
= (b — 1) \cdot \frac{(\sqrt{b — 2})^2 — (\sqrt{b + 2})^2}{\sqrt{(b + 2)(b — 2)}}.
\)

Используя разность квадратов:

\(
= (b — 1) \cdot \frac{(b — 2) — (b + 2)}{\sqrt{(b + 2)(b — 2)}} = (b — 1) \cdot \frac{-4}{\sqrt{(b + 2)(b — 2)}}.
\)

Теперь упростим окончательный результат:

\(
= \frac{1 — b}{b + 1}.
\)

Ответ:
\(
\frac{1 — b}{b + 1}.
\)