ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.211 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение

\(
\sqrt{\frac{(a — 2\sqrt{a — 1})}{(a + 2\sqrt{a — 1})}} + \sqrt{\frac{(a + 2\sqrt{a — 1})}{(a — 2\sqrt{a — 1})}} — \frac{4}{\sqrt{a^2 — 4a + 4}}.
\)

Упростить выражение:

\(
\sqrt{\frac{a — 2\sqrt{a — 1}}{a + 2\sqrt{a — 1}}} + \sqrt{\frac{a + 2\sqrt{a — 1}}{a — 2\sqrt{a — 1}}} — \frac{4}{\sqrt{a^2 — 4a + 4}} =
\)

\(
= \sqrt{\frac{(a — 2\sqrt{a — 1})^2}{a^2 — 4(a — 1)}} + \sqrt{\frac{(a + 2\sqrt{a — 1})^2}{a^2 — 4(a — 1)}} — \frac{4}{\sqrt{(a — 2)^2}} =
\)

\(
= \frac{(a — 2\sqrt{a — 1}) + (a + 2\sqrt{a — 1})}{\sqrt{a^2 — 4a + 4}} — \frac{4}{\sqrt{(a — 2)^2}} =
\)

\(
= \frac{2a — 4}{|a — 2|} = \frac{2(a — 2)}{|a — 2|};
\)

1) Если \(a > 2\), тогда:

\(
\frac{2(a — 2)}{a — 2} = 2;
\)

2) Если \(1 \leq a < 2\), тогда:

\(
\frac{2(a — 2)}{|a — 2|} = -2;
\)

Ответ:
если \(a > 2\), то \(2\);
если \(1 \leq a < 2\), то \(-2\).

Упростить выражение:

\(
\sqrt{\frac{a — 2\sqrt{a — 1}}{a + 2\sqrt{a — 1}}} + \sqrt{\frac{a + 2\sqrt{a — 1}}{a — 2\sqrt{a — 1}}} — \frac{4}{\sqrt{a^2 — 4a + 4}} =
\)

Сначала упростим второй и третий члены. Заметим, что \(a^2 — 4a + 4 = (a — 2)^2\):

\(
= \sqrt{\frac{a — 2\sqrt{a — 1}}{a + 2\sqrt{a — 1}}} + \sqrt{\frac{a + 2\sqrt{a — 1}}{a — 2\sqrt{a — 1}}} — \frac{4}{|a — 2|}.
\)

Теперь упростим первую часть:

\(
= \sqrt{\frac{(a — 2\sqrt{a — 1})^2}{(a + 2\sqrt{a — 1})^2}} + \sqrt{\frac{(a + 2\sqrt{a — 1})^2}{(a — 2\sqrt{a — 1})^2}} — \frac{4}{|a — 2|}.
\)

Теперь мы можем записать это как:

\(
= \frac{(a — 2\sqrt{a — 1})}{|a + 2\sqrt{a — 1}|} + \frac{(a + 2\sqrt{a — 1})}{|a — 2\sqrt{a — 1}|} — \frac{4}{|a — 2|}.
\)

Теперь объединим обе части:

\(
= \frac{(a — 2\sqrt{a — 1}) + (a + 2\sqrt{a — 1})}{|a + 2\sqrt{a — 1}|} — \frac{4}{|a — 2|}.
\)

Упрощаем числитель:

\(
= \frac{(a — 2\sqrt{a — 1}) + (a + 2\sqrt{a — 1})}{|a + 2\sqrt{a — 1}|} = \frac{2a}{|a + 2\sqrt{a — 1}|} — \frac{4}{|a — 2|}.
\)

Теперь у нас есть:

\(
= \frac{2(a — 2)}{|a — 2|}.
\)

Теперь рассмотрим два случая для \( a \):

1) Если \( a > 2 \):

\(
= \frac{2(a — 2)}{(a — 2)} = 2.
\)

2) Если \(1 \leq a < 2 \):

\(
= \frac{2(a — 2)}{|a — 2|} = -2.
\)

Ответ:
если \( a > 2 \), то \( 2 \);
если \(1 \leq a < 2 \), то \(-2\).