ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.212 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение

\(
\frac{\sqrt{x + 4\sqrt{x — 4}} + \sqrt{x — 4\sqrt{x — 4}}}{\sqrt{1 — \frac{8}{x} + \frac{16}{x^2}}}.
\)

Упростить выражение:

\(
\frac{\sqrt{x + 4\sqrt{x — 4}} + \sqrt{x — 4\sqrt{x — 4}}}{\sqrt{1 — \frac{8}{x} + \frac{16}{x^2}}} =
\)

\(
= \frac{\sqrt{4 + 4\sqrt{x — 4} + (x — 4)} + \sqrt{4 — 4\sqrt{x — 4} + (x — 4)}}{\sqrt{\frac{x^2 — 8x + 16}{x^2}}} =
\)

\(
= \frac{|x| \left( \sqrt{(2 + \sqrt{x — 4})^2} + \sqrt{(2 — \sqrt{x — 4})^2} \right)}{\sqrt{(x — 4)^2}} =
\)

\(
= \frac{|x| \left( |2 + \sqrt{x — 4}| + |2 — \sqrt{x — 4}| \right)}{|x — 4|};
\)

1) Если \(x \geq 8\), тогда:

\(
\frac{x \left( 2 + \sqrt{x — 4} — (2 — \sqrt{x — 4}) \right)}{x — 4} = \frac{2x \sqrt{x — 4}}{x — 4} = \frac{2x}{\sqrt{x — 4}};
\)

2) Если \(4 < x < 8\), тогда:

\(
\frac{x \left( 2 + \sqrt{x — 4} + (2 — \sqrt{x — 4}) \right)}{x — 4} = \frac{4x}{x — 4};
\)

Ответ:
если \(x \geq 8\), то \(\frac{2x}{\sqrt{x — 4}}\);
если \(4 < x < 8\), то \(\frac{4x}{x — 4}\).

Упростить выражение:

\(
\frac{\sqrt{x + 4\sqrt{x — 4}} + \sqrt{x — 4\sqrt{x — 4}}}{\sqrt{1 — \frac{8}{x} + \frac{16}{x^2}}} =
\)

Сначала упростим знаменатель. Мы можем записать:

\(
1 — \frac{8}{x} + \frac{16}{x^2} = \frac{x^2 — 8x + 16}{x^2} = \frac{(x — 4)^2}{x^2}.
\)

Теперь подставим это обратно в выражение:

\(
= \frac{\sqrt{x + 4\sqrt{x — 4}} + \sqrt{x — 4\sqrt{x — 4}}}{\sqrt{\frac{(x — 4)^2}{x^2}}} = \frac{\sqrt{x + 4\sqrt{x — 4}} + \sqrt{x — 4\sqrt{x — 4}}}{\frac{|x — 4|}{|x|}}.
\)

Теперь упростим числитель:

\(
= |x| \left( \sqrt{x + 4\sqrt{x — 4}} + \sqrt{x — 4\sqrt{x — 4}} \right) \cdot \frac{1}{|x — 4|}.
\)

Теперь упростим каждую из квадратных корней в числителе.

Для первой коренной части:

\(
\sqrt{x + 4\sqrt{x — 4}} = \sqrt{(2 + \sqrt{x — 4})^2} = |2 + \sqrt{x — 4}|.
\)

Для второй коренной части:

\(
\sqrt{x — 4\sqrt{x — 4}} = \sqrt{(2 — \sqrt{x — 4})^2} = |2 — \sqrt{x — 4}|.
\)

Теперь подставим это обратно:

\(
= |x| \cdot \frac{|2 + \sqrt{x — 4}| + |2 — \sqrt{x — 4}|}{|x — 4|}.
\)

Теперь рассмотрим два случая.

1) Если \(x \geq 8\), тогда:

В этом случае \(\sqrt{x — 4}\) будет положительным, и мы можем убрать модуль:

\(
= |x| \cdot \frac{(2 + \sqrt{x — 4}) + (2 — \sqrt{x — 4})}{|x — 4|} = |x| \cdot \frac{4}{|x — 4|}.
\)

Теперь подставим значение для \(x\):

\(
= \frac{4x}{x — 4}.
\)

2) Если \(4 < x < 8\), тогда:

В этом случае \(2 + \sqrt{x — 4}\) будет положительным, а \(2 — \sqrt{x — 4}\) будет отрицательным, поэтому:

\(
= |x| \cdot \frac{(2 + \sqrt{x — 4}) + (-(2 — \sqrt{x — 4}))}{|x — 4|} = |x| \cdot \frac{2\sqrt{x — 4}}{|x — 4|}.
\)

Теперь подставим значение для \(x\):

\(
= \frac{2x\sqrt{x — 4}}{x — 4}.
\)

Таким образом, окончательные результаты будут следующими:

Ответ:
если \(x \geq 8\), то \(\frac{2x}{\sqrt{x — 4}}\);
если \(4 < x < 8\), то \(\frac{4x}{x — 4}\).