ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.214 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сколько корней имеет уравнение:

1) \(\sqrt{x — 2} \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x — 3} = 0;\)

2) \((x — 5) \cdot \sqrt{x — 4} \cdot \sqrt{(x + 2)(x + 1)} = 0;\)

3) \(\sqrt{x — 4} \cdot (x — 1)^{\frac{1}{3}} \cdot (6 — x)^{\frac{1}{4}} = 0.\)

Сколько корней имеет уравнение:

1) \(\sqrt{x — 2} \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x — 3} = 0;\)
\(x_1 = 2, \quad x_2 = -3, \quad x_3 = 3;\)
Область определения:
\(
x — 2 \geq 0, \quad x + 3 \geq 0, \quad x — 3 \geq 0;
\)
\(
x \geq 2, \quad x \geq -3, \quad x \geq 3;
\)
Ответ: 1.

2) \((x — 5) \sqrt{x — 4} \cdot \sqrt{(x + 2)(x + 1)} = 0;\)
\(x_1 = 5, \quad x_2 = 4, \quad x_3 = -2, \quad x_4 = -1;\)
Область определения:
\(
x — 4 \geq 0, \quad (x + 2)(x + 1) \geq 0;
\)
\(
x \geq 4, \quad x \leq -2, \quad x \geq -1;
\)
Ответ: 2.

3) \(\sqrt{x — 4} \cdot \sqrt[3]{x — 1} \cdot \sqrt[4]{6 — x} = 0;\)
\(x_1 = 4, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 6;\)
Область определения:
\(
x — 4 \geq 0, \quad 6 — x \geq 0;
\)
\(
x \geq 4, \quad x \leq 6;
\)
Ответ: 2.

Сколько корней имеет уравнение:

1) \(\sqrt{x — 2} \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x — 3} = 0;\)

Для того чтобы произведение равно нулю, достаточно, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю. Рассмотрим каждый множитель:

\(\sqrt{x — 2} = 0 \Rightarrow x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2;\)

\(\sqrt{x + 3} = 0 \Rightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3;\)

\(\sqrt{x — 3} = 0 \Rightarrow x — 3 = 0 \Rightarrow x = 3;\)

Таким образом, корни: \(x_1 = 2, \quad x_2 = -3, \quad x_3 = 3.\)

Теперь определим область определения:

\(
x — 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2,
\)

\(
x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3,
\)

\(
x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3.
\)

Область определения: \(x \geq 3.\)

Из полученных корней только \(x_1 = 2\) и \(x_3 = 3\) попадают в область определения. Таким образом, ответ: 1.

2) \((x — 5) \sqrt{x — 4} \cdot \sqrt{(x + 2)(x + 1)} = 0;\)

Аналогично, для того чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один множитель должен быть равен нулю:

\(x — 5 = 0 \Rightarrow x = 5;\)

\(\sqrt{x — 4} = 0 \Rightarrow x — 4 = 0 \Rightarrow x = 4;\)

\(\sqrt{(x + 2)(x + 1)} = 0\) даёт два корня:

\(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2;\)

\(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1.\)

Таким образом, корни: \(x_1 = 5, \quad x_2 = 4, \quad x_3 = -2, \quad x_4 = -1.\)

Теперь определим область определения:

\(
x — 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4,
\)

\(
(x + 2)(x + 1) \geq 0.
\)

Решение неравенства \( (x + 2)(x + 1) \geq 0\) даёт:

\(x \leq -2\) или \(x \geq -1.\)

Область определения: \(x \geq 4\) и \(x \leq -2, x \geq -1.\)

Из полученных корней: \(x_1 = 5\) и \(x_2 = 4\) попадают в область определения. Таким образом, ответ: 2.

3) \(\sqrt{x — 4} \cdot (x — 1)^{\frac{1}{3}} \cdot (6 — x)^{\frac{1}{4}} = 0;\)

Для того чтобы произведение равно нулю, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю:

\(\sqrt{x — 4} = 0 \Rightarrow x — 4 = 0 \Rightarrow x = 4;\)

\((x — 1)^{\frac{1}{3}} = 0 \Rightarrow x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1;\)

\((6 — x)^{\frac{1}{4}} = 0 \Rightarrow 6 — x = 0 \Rightarrow x = 6.\)

Таким образом, корни: \(x_1 = 4, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 6.\)

Теперь определим область определения:

\(
x — 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4,
\)

\(
6 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 6.
\)

Область определения: \(4 \leq x \leq 6.\)

Из полученных корней: \(x_1 = 4\) и \(x_3 = 6\) попадают в область определения. Таким образом, ответ: 2.