ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.215 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите произведение корней уравнения

\((x^2 — 7x + 10) \cdot |3 — x| \cdot \sqrt{4 — x} = 0.\)

Найти произведение корней уравнения:

\(
(x^2 — 7x + 10) \cdot |3 — x| \cdot \sqrt{4 — x} = 0;
\)

\(
D = 7^2 — 4 \cdot 10 = 49 — 40 = 9, \quad тогда:
\)

\(
x_1 = \frac{7 — 3}{2} = 2 \quad и \quad x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5;
\)

\(
(x — 2) |x — 3| \sqrt{4 — x} (x — 5) = 0;
\)

\(
x_1 = 2, \quad x_2 = 3, \quad x_3 = 4, \quad x_4 = 5;
\)

1) Область определения:
\(
4 — x \geq 0, \quad x \leq 4;
\)

2) Произведение корней:
\(
D = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24;
\)

Ответ: 24.

Найти произведение корней уравнения:

\(
(x^2 — 7x + 10) \cdot |3 — x| \cdot \sqrt{4 — x} = 0.
\)

Для нахождения корней уравнения необходимо рассмотреть каждый множитель.

1. Первый множитель: \(x^2 — 7x + 10 = 0\)

Вычислим дискриминант:

\(
D = b^2 — 4ac = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9.
\)

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня:

\(
x_1 = \frac{7 — \sqrt{9}}{2} = \frac{7 — 3}{2} = 2,
\)
\(
x_2 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5.
\)

2. Второй множитель: \(|3 — x| = 0\)

Решим это уравнение:

\(
3 — x = 0 \Rightarrow x = 3.
\)

3. Третий множитель: \(\sqrt{4 — x} = 0\)

Решим это уравнение:

\(
4 — x = 0 \Rightarrow x = 4.
\)

Теперь соберем все найденные корни:

\(
x_1 = 2, \quad x_2 = 3, \quad x_3 = 4, \quad x_4 = 5.
\)

4. Область определения:

Для третьего множителя \(\sqrt{4 — x}\) необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

\(
4 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4.
\)

Таким образом, область определения ограничивает корни до:

\(
x_1 = 2, \quad x_2 = 3, \quad x_3 = 4.
\)

5. Произведение корней:

Теперь найдем произведение всех корней, которые удовлетворяют области определения:

\(
D = 2 \cdot 3 \cdot 4.
\)

Вычислим произведение:

\(
D = 24.
\)

Ответ:

\(
24.
\)