ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.216 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(\sqrt{x^2 — 3x + 2} + \sqrt{x^2 + x — 2} = 0;\)

2) \((x^2 — 4x + 3) \sqrt{x — 2} = 0;\)

3) \((x^2 + 3x — 4)(\sqrt{x — 2}) = 0.\)

1) \(\sqrt{x^2 — 3x + 2} + \sqrt{x^2 + x — 2} = 0;\)

Первое уравнение:
\(
x^2 — 3x + 2 = 0;
\)
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \quad тогда:
\)
\(
x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad и \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\)

Второе уравнение:
\(
x^2 + x — 2 = 0;
\)
\(
D = 1^2 — 4 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9, \quad тогда:
\)
\(
x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad и \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\)

Ответ: 1.

2) \((2x^2 — 4x + 3) \sqrt{x — 2} = 0;\)
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \quad тогда:
\)
\(
x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad и \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;
\)

\(
(x — 1)(x — 3) \sqrt{x — 2} = 0;
\)

\(
x_1 = 1, \quad x_2 = 3, \quad x_3 = 2;
\)

Область определения:
\(
x — 2 \geq 0, \quad x \geq 2;
\)

Ответ: 2; 3.

3)
\(
(x^2 + 3x — 4)(\sqrt{x — 2}) = 0;
\)

\(
D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \quad тогда:
\)

\(
x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4 \quad и \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1;
\)

\(
(x + 4)(x — 1)(\sqrt{x — 2}) = 0;
\)

\(
x_1 = -4, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 4;
\)

Область определения:
\(
x \geq 0;
\)

Ответ: 1; 4.

1) Решим уравнение:

\(\sqrt{x^2 — 3x + 2} + \sqrt{x^2 + x — 2} = 0;\)

Первое уравнение:

\(
x^2 — 3x + 2 = 0;
\)

Вычислим дискриминант:

\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1.
\)

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня:

\(
x_1 = \frac{3 — \sqrt{1}}{2} = \frac{3 — 1}{2} = 1,
\)
\(
x_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2.
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\(
x^2 + x — 2 = 0;
\)

Вычислим дискриминант:

\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
\)

Уравнение также имеет два различных корня:

\(
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 — 3}{2} = -2,
\)
\(
x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1.
\)

Таким образом, корни первого уравнения: \(x_1 = 1, x_2 = 2\) и второго уравнения: \(x_1 = -2, x_2 = 1\).

Ответ: \(1\).

2) Решим уравнение:

\((2x^2 — 4x + 3) \sqrt{x — 2} = 0;\)

Сначала рассмотрим квадратный множитель:

\(
2x^2 — 4x + 3 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:

\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 — 24 = -8.
\)

Так как дискриминант отрицателен, у этого уравнения нет действительных корней. Теперь рассмотрим корень:

\(\sqrt{x — 2} = 0;\)

Решим это уравнение:

\(
x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2.
\)

Теперь подставим значение \(x = 2\) в квадратное выражение:

\(
(2(2)^2 — 4(2) + 3) \neq 0.
\)

Таким образом, мы имеем только один корень \(x_3 = 2\).

Теперь найдем корни для уравнения:

\((x — 1)(x — 3) \sqrt{x — 2} = 0;\)

Решим:

\(
x — 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1,
\)
\(
x — 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3.
\)

Теперь соберем все найденные корни:

\(x_1 = 1, x_2 = 3, x_3 = 2.\)

Область определения:

\(
x — 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2.
\)

Ответ: \(2; 3.\)

3) Решим уравнение:

\((x^2 + 3x — 4)(\sqrt{x — 2}) = 0;\)

Сначала рассмотрим квадратный множитель:

\(
x^2 + 3x — 4 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:

\(
D = (3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.
\)

Уравнение имеет два различных корня:

\(
x_1 = \frac{-3 — \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 — 5}{2} = -4,
\)
\(
x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1.
\)

Теперь рассмотрим корень:

\(\sqrt{x — 2} = 0;\)

Решим это уравнение:

\(
x — 2 = 0 \Rightarrow x = 4.
\)

Теперь соберем все найденные корни:

\(x_1 = -4, x_2 = 1, x_3 = 4.\)

Область определения:

\(
x — 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2.
\)

Таким образом, действительными корнями являются \(x_2 = 1\) и \(x_3 = 4.\)

Ответ: \(1; 4.\)