ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.217 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\((x — 4)^{\frac{1}{4}} + 2\sqrt{4 — x} = x^2 — 5x + 4.\)

Решить уравнение:
\(
\sqrt[4]{x — 4} + 2 \sqrt{4 — x} = x^2 — 5x + 4;
\)

1) Область определения:
\(
x — 4 \geq 0, \quad 4 — x \geq 0;
\)
\(
x \geq 4, \quad x \leq 4;
\)

2) Если \(x = 4\), тогда:
\(
\sqrt[4]{4 — 4} + 2 \sqrt{4 — 4} = 4^2 — 5 \cdot 4 + 4;
\)
\(
0 + 2 \cdot 0 = 16 — 20 + 4;
\)
\(
0 = 0;
\)

Ответ: 4.

Решить уравнение:
\(
\sqrt[4]{x — 4} + 2 \sqrt{4 — x} = x^2 — 5x + 4;
\)

1) Область определения:
Для того чтобы уравнение было определено, необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными.

Первое условие:
\(
x — 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4.
\)

Второе условие:
\(
4 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4.
\)

Таким образом, из двух условий получаем:
\(
x \geq 4 \quad \text{и} \quad x \leq 4 \Rightarrow x = 4.
\)

2) Проверим, выполняется ли равенство при \(x = 4\):
Подставим \(x = 4\) в уравнение:
\(
\sqrt[4]{4 — 4} + 2 \sqrt{4 — 4} = 4^2 — 5 \cdot 4 + 4;
\)

Вычислим левую часть:
\(
\sqrt[4]{0} + 2 \cdot \sqrt{0} = 0 + 0 = 0.
\)

Теперь вычислим правую часть:
\(
4^2 — 5 \cdot 4 + 4 = 16 — 20 + 4 = 0.
\)

Таким образом, получаем:
\(
0 = 0.
\)

Ответ: \(x = 4\).