ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.218 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(\sqrt{3x — 2} = \sqrt{4x + 3};\)

2) \(\sqrt{3x — 3} = \sqrt{4x^2 — 6x — 1};\)

3) \(\sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x — 4} = 2;\)

4) \(\sqrt{x + 7} = x + 5;\)

5) \(\sqrt{x^2 + 2x — 12} = \sqrt{3x};\)

6) \(\sqrt{x^2 + x — 4} = \sqrt{-2x};\)

7) \(\sqrt{x + 5} — \sqrt{8 — x} = 1;\)

8) \(\sqrt{2x — 4} — \sqrt{x — 1} = 1;\)

9) \(\sqrt{3x — 6} + \sqrt{x — 4} = 4;\)

10) \(2\sqrt{x — 3} — \sqrt{x + 2} = 1.\)

1)
\(
\sqrt{3x — 2} = \sqrt{4x + 3};
\)

\(
3x — 2 = 4x + 3;
\)

\(
x = -5;
\)

Область определения:
\(
3x — 2 \geq 0;
\)

\(
3x \geq 2;
\)

\(
x \geq \frac{2}{3};
\)

Ответ: корней нет.

2)
\(
\sqrt{3x — 3} = \sqrt{4x^2 — 6x — 1};
\)

\(
3x — 3 = 4x^2 — 6x — 1;
\)

\(
4x^2 — 9x + 2 = 0;
\)

\(
D = 9^2 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 — 32 = 49, \quad тогда:
\)

\(
x_1 = \frac{9 — 7}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4}, \quad x_2 = \frac{9 + 7}{2 \cdot 4} = 2;
\)

Область определения:
\(
3x — 3 \geq 0;
\)

\(
3x \geq 3;
\)

\(
x \geq 1;
\)

Ответ: 2.

3)
\(
\sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x — 4} = 2;
\)

\(
x^2 — 4x — x + 4 = 4;
\)

\(
x^2 — 5x = 0;
\)

\(
x(x — 5) = 0;
\)

\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 5;
\)

Область определения:
\(
x — 1 \geq 0, \quad x — 4 \geq 0;
\)

\(
x \geq 1, \quad x \geq 4;
\)

Ответ: 5.

4)
\(
\sqrt{x + 7} = x + 5;
\)

\(
x + 7 = x^2 + 10x + 25;
\)

\(
x^2 + 9x + 18 = 0;
\)

\(
D = 9^2 — 4 \cdot 18 = 81 — 72 = 9, \quad тогда:
\)

\(
x_1 = \frac{-9 — 3}{2} = -6 \quad и \quad x_2 = \frac{-9 + 3}{2} = -3;
\)

Область определения:
\(
x + 7 \geq 0, \quad x + 5 \geq 0;
\)

\(
x \geq -7, \quad x \geq -5;
\)

Ответ: -3.

5)
\(
\sqrt{x^2 + 2x — 12} = \sqrt{3x};
\)

\(
x^2 + 2x — 12 = 3x;
\)

\(
x^2 — x — 12 = 0;
\)

\(
D = 1^2 — 4 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49, \quad тогда:
\)

\(
x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3 \quad и \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4;
\)

Область определения:
\(
3x \geq 0, \quad x \geq 0;
\)

Ответ: 4.

6)
\(
\sqrt{x^2 + x — 4} = \sqrt{-2x};
\)

\(
x^2 + x — 4 = -2x;
\)

\(
x^2 + 3x — 4 = 0;
\)

\(
D = 3^2 — 4 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25, \quad тогда:
\)

\(
x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4 \quad и \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1;
\)

Область определения:
\(
-2x \geq 0, \quad x \leq 0;
\)

Ответ: -4.

7)
\(
\sqrt{x + 5} — \sqrt{8 — x} = 1;
\)

\(
\sqrt{x + 5} = 1 + \sqrt{8 — x};
\)

\(
x + 5 = 1 + 2\sqrt{8 — x} + (8 — x);
\)

\(
2 \sqrt{8 — x} = 2x — 4;
\)

\(
\sqrt{8 — x} = x — 2;
\)

\(
8 — x = x^2 — 4x + 4;
\)

\(
x^2 — 3x + 4 = 0;
\)

\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 4 = 9 — 16 = -7;
\)

Область определения:
\(
x + 5 \geq 0, \quad 8 — x \geq 0, \quad x — 2 \geq 0;
\)

\(
x \geq -5, \quad x \leq 8, \quad x \geq 2;
\)

Ответ: 4.

8)
\(
\sqrt{2x — 4} — \sqrt{x — 1} = 1;
\)

\(
\sqrt{2x — 4} = 1 + \sqrt{x — 1};
\)

\(
2x — 4 = 1 + 2\sqrt{x — 1} + (x — 1);
\)

\(
2 \sqrt{x — 1} = x — 4;
\)

\(
4(x — 1) = x^2 — 8x + 16;
\)

\(
4x — 4 = x^2 — 8x + 16;
\)

\(
x^2 — 12x + 20 = 0;
\)

\(
D = 12^2 — 4 \cdot 20 = 144 — 80 = 64, \quad тогда:
\)

\(
x_1 = \frac{12 — 8}{2} = 2 \quad и \quad x_2 = \frac{12 + 8}{2} = 10;
\)

Область определения:
\(
2x — 4 \geq 0, \quad x — 1 \geq 0, \quad x — 4 \geq 0;
\)

\(
x \geq 2, \quad x \geq 1, \quad x \geq 4;
\)

Ответ: 10.

9)
\(
\sqrt{3x — 6} + \sqrt{x — 4} = 4;
\)

\(
(3x — 6) + 2\sqrt{(3x — 6)(x — 4)} + (x — 4) = 16;
\)

\(
2 \sqrt{3x^2 — 12x — 6x + 24} = 26 — 4x;
\)

\(
\sqrt{3x^2 — 18x + 24} = 13 — 2x;
\)

\(
3x^2 — 18x + 24 = 169 — 52x + 4x^2;
\)

\(
x^2 — 34x + 145 = 0;
\)

\(
D = 34^2 — 4 \cdot 145 = 1156 — 580 = 576, \quad тогда:
\)

\(
x_1 = \frac{34 — 24}{2} = 5 \quad и \quad x_2 = \frac{34 + 24}{2} = 29;
\)

Область определения:
\(
3x — 6 \geq 0, \quad x — 4 \geq 0, \quad 13 — 2x \geq 0;
\)

\(
x \geq 2, \quad x \geq 4, \quad x \leq 7.5;
\)

Ответ: 5.

10)
\(
2 \sqrt{x — 3} — \sqrt{x + 2} = 1;
\)

\(
2 \sqrt{x — 3} = 1 + \sqrt{x + 2};
\)

\(
4(x — 3) = 1 + 2 \sqrt{x + 2} + (x + 2);
\)

\(
4x — 12 = x + 3 + 2 \sqrt{x + 2};
\)

\(
2 \sqrt{x + 2} = 3x — 15;
\)

\(
4(x + 2) = 9x^2 — 90x + 225;
\)

\(
4x + 8 = 9x^2 — 90x + 225;
\)

\(
9x^2 — 94x + 217 = 0;
\)

\(
D = 94^2 — 4 \cdot 9 \cdot 217 = 8836 — 7812 = 1024, \quad тогда:
\)

\(
x_1 = \frac{94 — 32}{2 \cdot 9} = \frac{62}{18} = \frac{31}{9}, \quad x_2 = \frac{94 + 32}{2 \cdot 9} = 7;
\)

Область определения:
\(
x — 3 \geq 0, \quad x + 2 \geq 0, \quad 3x — 15 \geq 0;
\)

\(
x \geq 3, \quad x \geq -2, \quad x \geq 5;
\)

Ответ: 7.

1)
Решим уравнение:
\(
\sqrt{3x — 2} = \sqrt{4x + 3};
\)

Возведем обе стороны в квадрат:
\(
3x — 2 = 4x + 3;
\)

Переносим все элементы на одну сторону:
\(
3x — 4x — 2 — 3 = 0;
\)

Упрощаем:
\(
-x — 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -5;
\)

Теперь определим область определения:
\(
3x — 2 \geq 0;
\)

Решаем неравенство:
\(
3x \geq 2 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{2}{3};
\)

Сравниваем найденное значение \(x = -5\) с областью определения. Поскольку \(-5 < \frac{2}{3}\), то корней нет.
Ответ: корней нет.

2)
Решим уравнение:
\(
\sqrt{3x — 3} = \sqrt{4x^2 — 6x — 1};
\)

Возведем обе стороны в квадрат:
\(
3x — 3 = 4x^2 — 6x — 1;
\)

Переносим все элементы на одну сторону:
\(
0 = 4x^2 — 9x + 2;
\)

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 — 32 = 49;
\)

Вычисляем корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{9 — 7}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, \quad x_2 = \frac{9 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2;
\)

Теперь определим область определения:
\(
3x — 3 \geq 0;
\)

Решаем неравенство:
\(
3x \geq 3 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1;
\)

Сравниваем найденные корни \(x_1 = \frac{1}{4}\) и \(x_2 = 2\) с областью определения. Поскольку \(x_1 < 1\), он не подходит, а \(x_2 = 2\) подходит.
Ответ: 2.

3)
Решим уравнение:
\(
\sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x — 4} = 2;
\)

Возведем обе стороны в квадрат:
\(
(x — 1)(x — 4) = 4;
\)

Раскроем скобки:
\(
x^2 — 4x — x + 4 = 4;
\)

Упрощаем:
\(
x^2 — 5x + 4 — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 5x = 0;
\)

Факторизуем:
\(
x(x — 5) = 0;
\)

Получаем корни:
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 5;
\)

Теперь определим область определения:
\(
x — 1 \geq 0, \quad x — 4 \geq 0;
\)

Это приводит к условиям:
\(
x \geq 1, \quad x \geq 4;
\)

Таким образом, единственным допустимым значением является \(x = 5\).
Ответ: 5.

4)
Решим уравнение:
\(
\sqrt{x + 7} = x + 5;
\)

Возведем обе стороны в квадрат:
\(
x + 7 = (x + 5)^2;
\)

Раскроем скобки:
\(
x + 7 = x^2 + 10x + 25;
\)

Переносим все элементы на одну сторону:
\(
0 = x^2 + 10x + 25 — x — 7;
\)

Упрощаем:
\(
0 = x^2 + 9x + 18;
\)

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 — 72 = 9;
\)

Вычисляем корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-9 — 3}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-9 + 3}{2} = -3;
\)

Теперь определим область определения:
\(
x + 7 \geq 0, \quad x + 5 \geq 0;
\)

Это приводит к условиям:
\(
x \geq -7, \quad x \geq -5;
\)

Сравниваем найденные корни \(x_1 = -6\) и \(x_2 = -3\) с областью определения. Поскольку \(x_1 < -5 < -3 < -7\), то только \(x_2 = -3\) подходит.
Ответ: -3.

5)
Решим уравнение:
\(
\sqrt{x^2 + 2x — 12} = \sqrt{3x};
\)

Возведем обе стороны в квадрат:
\(
x^2 + 2x — 12 = 3x;
\)

Переносим все элементы на одну сторону:
\(
x^2 + 2x — 3x — 12 = 0;
\)

Упрощаем:
\(
x^2 — x — 12 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49;
\)

Вычисляем корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 7}{2} = -3,
\)
\(
x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4;
\)

Теперь определим область определения:
\(
3x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 0;
\)

Проверяем найденные корни на соответствие области определения. Значение \(x_1 = -3\) не удовлетворяет условию, а \(x_2 = 4\) подходит.
Ответ: 4.

6)
Решим уравнение:
\(
\sqrt{x^2 + x — 4} = \sqrt{-2x};
\)

Возведем обе стороны в квадрат:
\(
x^2 + x — 4 = -2x;
\)

Переносим все элементы на одну сторону:
\(
x^2 + x + 2x — 4 = 0;
\)

Упрощаем:
\(
x^2 + 3x — 4 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = (3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25;
\)

Вычисляем корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-3 — \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 — 5}{2} = -4,
\)
\(
x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1;
\)

Теперь определим область определения:
\(
-2x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 0;
\)

Проверяем найденные корни на соответствие области определения. Значение \(x_1 = -4\) удовлетворяет условию, а \(x_2 = 1\) не подходит.
Ответ: -4.

7)
Решим уравнение:
\(
\sqrt{x + 5} — \sqrt{8 — x} = 1;
\)

Переносим одну из частей уравнения:
\(
\sqrt{x + 5} = 1 + \sqrt{8 — x};
\)

Возводим обе стороны в квадрат:
\(
x + 5 = 1 + 2\sqrt{8 — x} + (8 — x);
\)

Упрощаем:
\(
x + 5 = 9 — x + 2\sqrt{8 — x};
\)

Переносим все элементы на одну сторону:
\(
2\sqrt{8 — x} = x — 4;
\)

Возводим обе стороны в квадрат снова:
\(
4(8 — x) = (x — 4)^2;
\)

Раскрываем скобки:
\(
32 — 4x = x^2 — 8x + 16;
\)

Переносим все элементы на одну сторону:
\(
0 = x^2 — 4x — 16;
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 16 + 64 = 80;
\)

Корни уравнения будут вычислены как:
Корни не будут вычислены, так как \(D < 0\).

Теперь определим область определения:
Условия:
\(
x + 5 \geq 0,
\quad
8 — x \geq 0,
\quad
x — 2 \geq 0;
\)

Проверяем условия:
\(
x \geq -5,
\quad
x \leq 8,
\quad
x \geq 2;
\)

Объединяем условия: \(
x \geq 2,
\quad
x < 8;
\)

Ответ: корней нет.

8) Решить уравнение:
\(
\sqrt{2x — 4} — \sqrt{x — 1} = 1
\)

Переносим второй корень вправо:
\(
\sqrt{2x — 4} = 1 + \sqrt{x — 1}
\)

Возводим обе части в квадрат:
\(
( \sqrt{2x — 4} )^2 = (1 + \sqrt{x — 1})^2
\)

Раскрываем скобки справа:
\(
2x — 4 = 1 + 2 \sqrt{x — 1} + (x — 1)
\)

Упрощаем правую часть:
\(
2x — 4 = x + 2 \sqrt{x — 1} + 0
\)

Переносим \(x\) в левую часть:
\(
2x — 4 — x = 2 \sqrt{x — 1}
\)

\(
x — 4 = 2 \sqrt{x — 1}
\)

Выражаем корень:
\(
2 \sqrt{x — 1} = x — 4
\)

Возводим обе части в квадрат:
\(
(2 \sqrt{x — 1})^2 = (x — 4)^2
\)

Раскрываем:
\(
4(x — 1) = (x — 4)^2
\)

Раскрываем правую часть:
\(
4x — 4 = x^2 — 8x + 16
\)

Переносим все в левую часть:
\(
0 = x^2 — 8x + 16 — 4x + 4
\)

\(
0 = x^2 — 12x + 20
\)

Или:
\(
x^2 — 12x + 20 = 0
\)

Находим дискриминант:
\(
D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 — 80 = 64
\)

Находим корни:
\(
x_1 = \frac{12 — 8}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{12 + 8}{2} = 10
\)

Область определения уравнения:
\(
2x — 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2
\)

\(
x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1
\)

\(
x — 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4
\)

Объединяем:
\(
x \geq 4
\)

Проверяем корни на принадлежность области определения:
\(x_1 = 2\) — не подходит, так как \(2 < 4\)
\(x_2 = 10\) — подходит

Ответ:
\(
10
\)

9) Решить уравнение:
\(
\sqrt{3x — 6} + \sqrt{x — 4} = 4
\)

Возводим обе части в квадрат:
\(
(\sqrt{3x — 6} + \sqrt{x — 4})^2 = 4^2
\)

Раскрываем левую часть:
\(
(3x — 6) + 2 \sqrt{(3x — 6)(x — 4)} + (x — 4) = 16
\)

Складываем:
\(
3x — 6 + x — 4 + 2 \sqrt{(3x — 6)(x — 4)} = 16
\)

\(
4x — 10 + 2 \sqrt{(3x — 6)(x — 4)} = 16
\)

Переносим числа:
\(
2 \sqrt{(3x — 6)(x — 4)} = 16 — 4x + 10
\)

\(
2 \sqrt{(3x — 6)(x — 4)} = 26 — 4x
\)

Делим обе части на 2:
\(
\sqrt{(3x — 6)(x — 4)} = 13 — 2x
\)

Возводим обе части в квадрат:
\(
(3x — 6)(x — 4) = (13 — 2x)^2
\)

Раскрываем левую часть:
\(
3x^2 — 12x — 6x + 24 = 169 — 52x + 4x^2
\)

\(
3x^2 — 18x + 24 = 169 — 52x + 4x^2
\)

Переносим все в левую часть:
\(
3x^2 — 18x + 24 — 169 + 52x — 4x^2 = 0
\)

\(
— x^2 + 34x — 145 = 0
\)

Умножаем на -1 для удобства:
\(
x^2 — 34x + 145 = 0
\)

Находим дискриминант:
\(
D = (-34)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 145 = 1156 — 580 = 576
\)

Находим корни:
\(
x_1 = \frac{34 — 24}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{34 + 24}{2} = 29
\)

Область определения:
\(
3x — 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2
\)

\(
x — 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4
\)

\(
13 — 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 6.5
\)

Объединяем:
\(
4 \leq x \leq 6.5
\)

Проверяем корни:
\(x_1 = 5\) — подходит
\(x_2 = 29\) — не подходит

Ответ:
\(
5
\)

10) Решить уравнение:
\(
2 \sqrt{x — 3} — \sqrt{x + 2} = 1
\)

Переносим корень:
\(
2 \sqrt{x — 3} = 1 + \sqrt{x + 2}
\)

Возводим обе части в квадрат:
\(
(2 \sqrt{x — 3})^2 = (1 + \sqrt{x + 2})^2
\)

Раскрываем:
\(
4(x — 3) = 1 + 2 \sqrt{x + 2} + (x + 2)
\)

Упрощаем правую часть:
\(
4x — 12 = x + 3 + 2 \sqrt{x + 2}
\)

Переносим \(x + 3\) в левую часть:
\(
4x — 12 — x — 3 = 2 \sqrt{x + 2}
\)

\(
3x — 15 = 2 \sqrt{x + 2}
\)

Выражаем корень:
\(
2 \sqrt{x + 2} = 3x — 15
\)

Возводим обе части в квадрат:
\(
(2 \sqrt{x + 2})^2 = (3x — 15)^2
\)

Раскрываем:
\(
4(x + 2) = (3x — 15)^2
\)

Раскрываем правую часть:
\(
4x + 8 = 9x^2 — 90x + 225
\)

Переносим всё в левую часть:
\(
0 = 9x^2 — 90x + 225 — 4x — 8
\)

\(
0 = 9x^2 — 94x + 217
\)

Находим дискриминант:
\(
D = (-94)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 217 = 8836 — 7812 = 1024
\)

Находим корни:
\(
x_1 = \frac{94 — 32}{2 \cdot 9} = \frac{62}{18} = \frac{31}{9}, \quad x_2 = \frac{94 + 32}{2 \cdot 9} = 7
\)

Область определения:
\(
x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3
\)

\(
x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2
\)

\(
3x — 15 \geq 0 \Rightarrow x \geq 5
\)

Объединяем:
\(
x \geq 5
\)

Проверяем корни:
\(x_1 = \frac{31}{9} \approx 3.44\) — не подходит (меньше 5)
\(x_2 = 7\) — подходит

Ответ:
\(
7
\)