ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.219 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите сумму корней уравнения
\(
\sqrt{3 — x} + \sqrt{x + 2} = 3.
\)

Найти сумму корней уравнения:

\(
\sqrt{3 — x} + \sqrt{x + 2} = 3;
\)

\(
(3 — x) + 2 \sqrt{(3 — x)(x + 2)} + (x + 2) = 9;
\)

\(
2 \sqrt{3x + 6 — x^2 — 2x} = 4;
\)

\(
\sqrt{x + 6 — x^2} = 2;
\)

\(
x + 6 — x^2 = 4;
\)

\(
x^2 — x — 2 = 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \quad тогда:
\)

\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)

1) Область определения:
\(
3 — x \geq 0, \quad x + 2 \geq 0;
\)

\(
x \leq 3, \quad x \geq -2;
\)

2) Сумма корней:
\(
S = -1 + 2 = 1;
\)

Ответ: 1.

Найти сумму корней уравнения:

\(
\sqrt{3 — x} + \sqrt{x + 2} = 3;
\)

Для начала возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\(
(\sqrt{3 — x} + \sqrt{x + 2})^2 = 3^2;
\)

Это даст нам:

\(
(3 — x) + 2\sqrt{(3 — x)(x + 2)} + (x + 2) = 9;
\)

Упрощаем левую часть:

\(
3 — x + x + 2 + 2\sqrt{(3 — x)(x + 2)} = 9;
\)

Собираем подобные:

\(
5 + 2\sqrt{(3 — x)(x + 2)} = 9;
\)

Теперь изолируем корень:

\(
2\sqrt{(3 — x)(x + 2)} = 4;
\)

Делим обе стороны на 2:

\(
\sqrt{(3 — x)(x + 2)} = 2;
\)

Возводим обе стороны в квадрат:

\(
(3 — x)(x + 2) = 4;
\)

Раскрываем скобки:

\(
3x + 6 — x^2 — 2x = 4;
\)

Упрощаем:

\(
-x^2 + x + 6 = 4;
\)

Переносим все элементы на одну сторону:

\(
-x^2 + x + 2 = 0;
\)

Умножаем на -1 для упрощения:

\(
x^2 — x — 2 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9;
\)

Находим корни уравнения с помощью формулы:

\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 — 3}{2} = -1,
\)

\(
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)

Теперь определим область определения:
Для этого рассмотрим условия, при которых подкоренные выражения неотрицательны:

1. \(3 — x \geq 0\)
Это неравенство даёт \(x \leq 3\).

2. \(x + 2 \geq 0\)
Это неравенство даёт \(x \geq -2\).

Таким образом, область определения:
\(
-2 \leq x \leq 3.
\)

Теперь проверим найденные корни на соответствие области определения:

— Корень \(x_1 = -1\) удовлетворяет условию, так как \(-1 \in [-2, 3]\).
— Корень \(x_2 = 2\) также удовлетворяет условию, так как \(2 \in [-2, 3]\).

Теперь найдём сумму корней:

\(
S = x_1 + x_2 = -1 + 2 = 1;
\)

Ответ: 1.