ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Существуют ли такие натуральные числа } n \text{ и } k, \text{ что}
\)

\(
5^{n} + 1
\)

\(
\text{делится на}
\)

\(
5^{k} — 1?
\)

или, объединяя всё в одну формулу:

\(
\exists\, n,\, k \in \mathbb{N}:\quad 5^{k} — 1 \mid 5^{n} + 1
\)

Существуют ли числа \( n \) и \( k \):

\(
(5^n + 1) : (5^k — 1)
\);

1) Если \( n = 1 \) и \( k = 1 \), тогда:
\(
5^n + 1 = 5 + 1 = 6;
\)
\(
5^k — 1 = 5 — 1 = 4;
\)

2) Если \( n = m + 1 \), тогда:
\(
5^{m+1} + 1 = 5 \cdot 5^m + 1 = 4 \cdot 5^m + (5^m + 1);
\)

3) Если \( p = k + 1 \), тогда:
\(
5^{k+1} — 1 = 5 \cdot 5^k — 1 = 4 \cdot 5^k + (5^k — 1);
\)

4) Все числа \( 5^n + 1 \) не делятся на 4;
но все числа \( 5^k — 1 \) делятся на 4;

Ответ: нет.

Существуют ли числа \( n \) и \( k \):

\(
5^n + 1 \text{ делится на } 5^k — 1
\)

1) Рассмотрим частный случай, когда \( n = 1 \) и \( k = 1 \):

\(
5^n + 1 = 5^1 + 1 = 5 + 1 = 6
\)
\(
5^k — 1 = 5^1 — 1 = 5 — 1 = 4
\)

Число 6 не делится на 4.

2) Рассмотрим случай, когда \( n = m + 1 \), где \( m \) — натуральное число:

\(
5^{m+1} + 1 = 5 \cdot 5^m + 1
\)

Разложим это выражение:

\(
5 \cdot 5^m + 1 = 4 \cdot 5^m + (5^m + 1)
\)

3) Аналогично, рассмотрим выражение для \( p = k + 1 \):

\(
5^{k+1} — 1 = 5 \cdot 5^k — 1
\)

Разложим это выражение:

\(
5 \cdot 5^k — 1 = 4 \cdot 5^k + (5^k — 1)
\)

4) Заметим, что все числа \( 5^n + 1 \) при любом натуральном \( n \) не делятся на 4. Действительно, рассмотрим остаток \( 5^n \) по модулю 4:

\(
5^n \equiv 1 \pmod{4}
\)
\(
5^n + 1 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{4}
\)

Следовательно, \( 5^n + 1 \) всегда даёт остаток 2 при делении на 4, то есть никогда не делится на 4.

В то же время, \( 5^k — 1 \) всегда делится на 4:

\(
5^k \equiv 1 \pmod{4}
\)
\(
5^k — 1 \equiv 1 — 1 \equiv 0 \pmod{4}
\)

То есть \( 5^k — 1 \) всегда кратно 4.

Поскольку делимое \( 5^n + 1 \) не делится на 4, а делитель \( 5^k — 1 \) всегда делится на 4, то \( 5^n + 1 \) не может быть кратно \( 5^k — 1 \) ни при каких натуральных \( n \) и \( k \).

Ответ: нет, таких натуральных чисел \( n \) и \( k \) не существует.