ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.220 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнения:

1)
\(
\sqrt{x} — 3x^{\frac{1}{4}} + 2 = 0;
\)

2)
\(
2x^{\frac{1}{3}} + 5x^{\frac{1}{6}} — 3 = 0;
\)

3)
\(
(4 — 4x + x^2)^{\frac{1}{3}} — (2 — x)^{\frac{1}{3}} — 2 = 0;
\)

4)
\(
x^2 — 16x — \sqrt{x^2 — 16x + 8} = 12;
\)

5)
\(
\sqrt{\frac{3x}{x — 1}} — 2\sqrt{\frac{x — 1}{3x}} = 1;
\)

6)
\(
\sqrt{3x^2 — 6x + 7} = 7 + 2 — x^2.
\)

1)
\(
\sqrt{x} — 3 \sqrt[4]{x} + 2 = 0;
\)

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \quad тогда:
\)

\(
\sqrt[4]{x_1} = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad \sqrt[4]{x_2} = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\)

\(
x_1 = 1^4 = 1, \quad x_2 = 2^4 = 16;
\)

Ответ: 1; 16.

2)
\(
2 \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[6]{x} — 3 = 0;
\)

\(
D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49, \quad тогда:
\)

\(
\sqrt[6]{x_1} = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = -3, \quad \sqrt[6]{x_2} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2};
\)

\(
x_1 \in \emptyset \quad \text{и} \quad x_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64};
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{64}.
\)

3)
\(
\sqrt[3]{4 — 4x + x^2} — \sqrt[3]{2 — x} — 2 = 0;
\)

\(
\sqrt[3]{(2 — x)^2} — \sqrt[3]{2 — x} — 2 = 0;
\)

Пусть
\(
y = \sqrt[3]{2 — x},
\)
тогда:

\(
y^2 — y — 2 = 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \quad тогда:
\)

\(
y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)

Первое значение:
\(
\sqrt[3]{2 — x} = -1;
\)

\(
2 — x = -1;
\)

\(
x = 3;
\)

Второе значение:
\(
\sqrt[3]{2 — x} = 2;
\)

\(
2 — x = 8;
\)

\(
x = -6;
\)

Ответ:
\(
-6; \quad 3.
\)

4)
\(
x^2 — 16x — \sqrt{x^2 — 16x + 8} = 12;
\)

Пусть
\(
y = \sqrt{x^2 — 16x + 8},
\)
тогда:

\(
y^2 — y — 20 = 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81, \quad тогда:
\)

\(
y_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4, \quad y_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5;
\)

Первое значение:
\(
\sqrt{x^2 — 16x + 8} = -4;
\)

\(
x \in \emptyset;
\)

Второе значение:
\(
\sqrt{x^2 — 16x + 8} = 5;
\)

\(
x^2 — 16x + 8 = 25;
\)

\(
x^2 — 16x — 17 = 0;
\)

\(
D = (-16)^2 + 4 \cdot 17 = 256 + 68 = 324, \quad тогда:
\)

\(
x_1 = \frac{16 — 18}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{16 + 18}{2} = 17;
\)

Ответ:
\(
-1; \quad 17.
\)

5)
\(
\sqrt{\frac{3x}{x-1}} — 2 \sqrt{\frac{x-1}{3x}} = 1;
\)

Пусть
\(
y = \sqrt{\frac{3x}{x-1}},
\)
тогда:

\(
y — \frac{2}{y} — 1 = 0;
\)

\(
y^2 — y — 2 = 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \quad тогда:
\)

\(
y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)

Первое значение:
\(
\sqrt{\frac{3x}{x-1}} = -1;
\)

\(
x \in \emptyset;
\)

Второе значение:
\(
\sqrt{\frac{3x}{x-1}} = 2;
\)

\(
\frac{3x}{x-1} = 4;
\)

\(
3x = 4x — 4;
\)

\(
x = 4;
\)

Ответ:
\(
4.
\)

6)
\(
\sqrt{3x^2 — 6x + 7} = 7 + 2x — x^2;
\)

Пусть
\(
y = \sqrt{3x^2 — 6x + 7},
\)
тогда:

\(
y = -\frac{1}{3} y^2 + \frac{7}{3} + 7;
\)

\(
3y = -y^2 + 7 + 21;
\)

\(
y^2 + 3y — 28 = 0;
\)

\(
D = 3^2 + 4 \cdot 28 = 9 + 112 = 121, \quad тогда:
\)

\(
y_1 = \frac{-3 — 11}{2} = -7, \quad y_2 = \frac{-3 + 11}{2} = 4;
\)

Первое значение:
\(
\sqrt{3x^2 — 6x + 7} = -7;
\)

\(
x \in \emptyset;
\)

Второе значение:
\(
\sqrt{3x^2 — 6x + 7} = 4;
\)

\(
3x^2 — 6x + 7 = 16;
\)

\(
3x^2 — 6x — 9 = 0;
\)

\(
x^2 — 2x — 3 = 0;
\)

\(
D = (-2)^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \quad тогда:
\)

\(
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)

Ответ:
\(
-1; \quad 3.
\)

1)
Решим уравнение:
\(
\sqrt{x} — 3 \sqrt[4]{x} + 2 = 0;
\)

Для удобства обозначим \( z = \sqrt[4]{x} \), тогда \( \sqrt{x} = z^2 \). Подставим это в уравнение:
\(
z^2 — 3z + 2 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \quad тогда:
\)

Вычислим корни уравнения:
\(
z_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad z_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\)

Теперь вернемся к переменной \( x \):
\(
x_1 = z_1^4 = 1^4 = 1, \quad x_2 = z_2^4 = 2^4 = 16;
\)

Ответ:
\(
1; \quad 16.
\)

2)
Решим уравнение:
\(
2 \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[6]{x} — 3 = 0;
\)

Обозначим \( w = \sqrt[6]{x} \), тогда \( \sqrt[3]{x} = w^2 \). Подставим это в уравнение:
\(
2w^2 + 5w — 3 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49, \quad тогда:
\)

Вычислим корни уравнения:
\(
w_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = -3, \quad w_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2};
\)

Первое значение:
\( w_1 \) не подходит, так как \( w_1 < 0 \).
Второе значение:
\(
x_2 = w_2^6 = \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64};
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{64}.
\)

3)
Решим уравнение:
\(
\sqrt[3]{4 — 4x + x^2} — \sqrt[3]{2 — x} — 2 = 0;
\)

Упрощаем:
\(
\sqrt[3]{(2 — x)^2} — \sqrt[3]{2 — x} — 2 = 0;
\)

Пусть
\(
y = \sqrt[3]{2 — x},
\)
тогда уравнение становится:
\(
y^2 — y — 2 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9, \quad тогда:
\)

Вычислим корни уравнения:
\(
y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)

Первое значение:
\(
\sqrt[3]{2 — x} = -1;
\)

Переписываем уравнение:
\(
2 — x = -1;
\)

Решаем:
\(
x = 3;
\)

Второе значение:
\(
\sqrt[3]{2 — x} = 2;
\)

Переписываем уравнение:
\(
2 — x = 8;
\)

Решаем:
\(
x = -6;
\)

Ответ:
\(
-6; \quad 3.
\)

Вот подробное решение с заменёнными скобками:

4)
Решим уравнение:
\(
x^2 — 16x — \sqrt{x^2 — 16x + 8} = 12;
\)

Пусть
\(
y = \sqrt{x^2 — 16x + 8},
\)
тогда подставим это в уравнение:

\(
x^2 — 16x — y = 12.
\)

Перепишем уравнение:
\(
y = x^2 — 16x — 12.
\)

Теперь выразим \( y^2 \):
\(
y^2 = x^2 — 16x + 8.
\)

Подставим это в уравнение:
\(
(x^2 — 16x — 12)^2 = x^2 — 16x + 8.
\)

Раскроем скобки:
\(
x^4 — 32x^3 + (256 + 144)x^2 — 384x + 144 = x^2 — 16x + 8.
\)

Соберем все элементы на одной стороне:
\(
x^4 — 32x^3 + (256 + 144 — 1)x^2 + (-384 + 16)x + (144 — 8) = 0.
\)

Упрощаем:
\(
x^4 — 32x^3 + 399x^2 — 368x + 136 = 0.
\)

Теперь найдем корни этого уравнения. Для этого можно использовать численные методы или графическое построение.

Обратимся к исходному уравнению:
\(
y^2 — y — 20 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81, \quad тогда:
\)

Вычислим корни уравнения:
\(
y_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4, \quad y_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5;
\)

Первое значение:
\(
\sqrt{x^2 — 16x + 8} = -4;
\)

Так как квадратный корень не может быть отрицательным, то:
\(
x \in \emptyset;
\)

Второе значение:
\(
\sqrt{x^2 — 16x + 8} = 5;
\)

Возводим обе стороны в квадрат:
\(
x^2 — 16x + 8 = 25;
\)

Переносим все элементы на одну сторону:
\(
x^2 — 16x — 17 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = (-16)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 256 + 68 = 324, \quad тогда:
\)

Вычислим корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{16 — 18}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{16 + 18}{2} = 17;
\)

Ответ:
\(
-1; \quad 17.
\)

5)
Решим уравнение:
\(
\sqrt{\frac{3x}{x-1}} — 2 \sqrt{\frac{x-1}{3x}} = 1;
\)

Пусть
\(
y = \sqrt{\frac{3x}{x-1}},
\)
тогда подставим это в уравнение:

\(
y — \frac{2}{y} — 1 = 0;
\)

Умножим на \( y \):
\(
y^2 — y — 2 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9, \quad тогда:
\)

Вычислим корни уравнения:
\(
y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\)

Первое значение:
\(
\sqrt{\frac{3x}{x-1}} = -1;
\)

Так как квадратный корень не может быть отрицательным, то:
\(
x \in \emptyset;
\)

Второе значение:
\(
\sqrt{\frac{3x}{x-1}} = 2;
\)

Возводим обе стороны в квадрат:
\(
\frac{3x}{x-1} = 4;
\)

Умножаем обе стороны на \( x-1 \):
\(
3x = 4(x-1);
\)

Раскроем скобки:
\(
3x = 4x — 4;
\)

Переносим все элементы на одну сторону:
\(
3x — 4x + 4 = 0;
\)

Упрощаем:
\(
-x + 4 = 0 \Rightarrow x = 4;
\)

Ответ:
\(
4.
\)

6)
Решим уравнение:
\(
\sqrt{3x^2 — 6x + 7} = 7 + 2x — x^2;
\)

Пусть
\(
y = \sqrt{3x^2 — 6x + 7},
\)
тогда подставим это в уравнение:

\(
y = 7 + 2x — x^2.
\)

Теперь выразим \( y \) как квадрат:
\(
y^2 = 3x^2 — 6x + 7.
\)

Подставим выражение для \( y \) в квадрат:
\(
(7 + 2x — x^2)^2 = 3x^2 — 6x + 7.
\)

Раскроем скобки:
\(
(7 + 2x — x^2)(7 + 2x — x^2) = 3x^2 — 6x + 7.
\)

Упрощаем:
\(
49 + 28x + 4x^2 — 14x — 4x^3 + x^4 = 3x^2 — 6x + 7.
\)

Соберем все элементы на одной стороне:
\(
x^4 — 4x^3 + (4 — 3)x^2 + (28 + 6)x + (49 — 7) = 0.
\)

Это даст:
\(
x^4 — 4x^3 + x^2 + 34x + 42 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант для уравнения:
\(
D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 42 = 16 — 168 = -152.
\)

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Теперь вернемся к уравнению:
\(
y^2 + 3y — 28 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121, \quad тогда:
\)

Вычислим корни уравнения:
\(
y_1 = \frac{-3 — 11}{2} = -7, \quad y_2 = \frac{-3 + 11}{2} = 4;
\)

Первое значение:
\(
\sqrt{3x^2 — 6x + 7} = -7;
\)

Так как квадратный корень не может быть отрицательным,
\(
x \in \emptyset;
\)

Второе значение:
\(
\sqrt{3x^2 — 6x + 7} = 4;
\)

Теперь возведем обе стороны в квадрат:
\(
3x^2 — 6x + 7 = 16;
\)

Переносим все на одну сторону:
\(
3x^2 — 6x — 9 = 0;
\)

Делим на 3:
\(
x^2 — 2x — 3 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16, \quad тогда:
\)

Вычислим корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)

Ответ:
\(
-1; \quad 3.
\)