ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.223 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенства:

1)
\(
\sqrt{3x + 5} > \sqrt{4x — 3};
\)

2)
\(
\sqrt{x^2 — 4x — 5} < \sqrt{x + 9};
\)

3)
\(
\sqrt{x^2 + 6x} < x + 2;
\)

4)
\(
\sqrt{12 + x — x^2} < x + 3;
\)

5)
\(
\sqrt{x^2 + 6x + 8} > x + 4;
\)

6)
\(
\sqrt{4x^2 — 7} > 5 — x;
\)

7)
\(
(x — 7) \sqrt{x^2 — 3x + 18} > 0;
\)

8)
\(
(x^2 — 10x + 9) \sqrt{x^2 — 6x — 16} > 0;
\)

9)
\(
x^2 — x + 3 \sqrt{x^2 — x — 2} — 12 < 0;
\)

10)
\(
\sqrt{5 — x} + 2 \sqrt{13 — x} < 7;
\)

11)
\(
\sqrt{x — 4} + \sqrt{14 — x} < 4;
\)

12)
\(
\sqrt{x + 13} — \sqrt{x + 6} > 1.
\)

1)
\(
\sqrt{3x + 5} > \sqrt{4x — 3};
\)

\(
3x + 5 > 4x — 3;
\)

\(
x < 8;
\)

Область определения:
\(
4x — 3 \geq 0;
\)

\(
4x \geq 3;
\)

\(
x \geq \frac{3}{4};
\)

Ответ:
\(
\left[\frac{3}{4}; 8 \right);
\)

2)
\(
\sqrt{x^2 — 4x — 5} < \sqrt{x + 9};
\)

\(
x^2 — 4x — 5 < x + 9;
\)

\(
x^2 — 5x — 14 < 0;
\)

\(
D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7;
\)

\(
(x + 2)(x — 7) < 0;
\)

\(
-2 < x < 7;
\)

Область определения:
\(
x^2 — 4x — 5 \geq 0;
\)

\(
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5;
\)

\(
(x + 1)(x — 5) \geq 0;
\)

\(
x \leq -1, \quad x \geq 5;
\)

Ответ:
\(
(-2; -1] \cup [5; 7).
\)

3)
\(
\sqrt{x^2 + 6x} \leq x + 2;
\)

\(
x^2 + 6x \leq x^2 + 4x + 4;
\)

\(
2x \leq 4;
\)

\(
x \leq 2;
\)

Область определения:
\(
x^2 + 6x \geq 0, \quad x + 2 \geq 0;
\)

\(
x(x + 6) \geq 0, \quad x \geq -2;
\)

\(
x \geq 0;
\)

Ответ:
\(
[0; 2].
\)

4)
\(
\sqrt{12 + x — x^2} \leq x + 3;
\)

\(
12 + x — x^2 \leq x^2 + 6x + 9;
\)

\(
2x^2 + 5x — 3 \geq 0;
\)

\(
D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = -3, \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2};
\)

\(
(x + 3) \left(x — \frac{1}{2}\right) \geq 0;
\)

\(
x \leq -3, \quad x \geq \frac{1}{2};
\)

Область определения:
\(
12 + x — x^2 \geq 0, \quad x + 3 \geq 0;
\)

\(
x^2 — x — 12 \leq 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4;
\)

\(
(x + 3)(x — 4) \leq 0,
\)

\(
-3 \leq x \leq 4;
\)

Ответ:
\(
\{-3\} \cup [\frac{1}{2}; 4].
\)

5)
\(
\sqrt{x^2 + 6x + 8} \geq x + 4;
\)

\(
x^2 + 6x + 8 \geq x^2 + 8x + 16;
\)

\(
2x \leq -8;
\)

\(
x \leq -4;
\)

Область определения:
\(
x^2 + 6x + 8 \geq 0;
\)

\(
D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{-6 — 2}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-6 + 2}{2} = -2;
\)

\(
(x + 4)(x + 2) \geq 0;
\)

\(
x \leq -4, \quad x \geq -2;
\)

Всегда верно:
\(
x + 4 \leq 0;
\)

\(
x \leq -4;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -4].
\)

6)
\(
\sqrt{4x^2 — 7} \geq 5 — x;
\)

\(
4x^2 — 7 \geq 25 — 10x + x^2;
\)

\(
3x^2 + 10x — 32 \geq 0;
\)

\(
D = 10^2 + 4 \cdot 3 \cdot 32 = 100 + 384 = 484,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{-10 — 22}{2 \cdot 3} = -\frac{16}{3}, \quad x_2 = \frac{-10 + 22}{2 \cdot 3} = 2;
\)

\(
(x + \frac{16}{3})(x — 2) \geq 0;
\)

\(
x \leq -\frac{16}{3}, \quad x \geq 2;
\)

Область определения:
\(
4x^2 — 7 \geq 0;
\)

\(
(2x + \sqrt{7})(2x — \sqrt{7}) \geq 0;
\)

\(
x \leq -\frac{\sqrt{7}}{2}, \quad x \geq \frac{\sqrt{7}}{2};
\)

Всегда верно:
\(
5 — x \leq 0;
\)

\(
x \geq 5;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -\frac{16}{3}] \cup [2; +\infty).
\)

7)
\(
(x — 7) \sqrt{x^2 — 3x + 18} \geq 0;
\)

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 18 = 9 — 72 = -63;
\)

\(
D < 0, \text{ значит } x \in \emptyset;
\)

\(
x — 7 \geq 0;
\)

\(
x \geq 7;
\)

Область определения:
\(
x^2 — 3x + 18 \geq 0;
\)

\(
x \in \mathbb{R};
\)

Ответ:
\(
[7; +\infty).
\)

8)
\(
(x^2 — 10x + 9) \sqrt{x^2 — 6x — 16} \geq 0;
\)

\(
D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9;
\)

\(
D = 6^2 + 4 \cdot 16 = 36 + 64 = 100, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{6 — 10}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8;
\)

\(
(x — 1)(x — 9)(x + 2)(x — 8) \geq 0;
\)

\(
x \leq 1, \quad x \geq 9, \quad x \leq -2, \quad x \geq 8;
\)

Область определения:
\(
(x + 2)(x — 8) \geq 0;
\)

\(
x \leq -2, \quad x \geq 8;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -2] \cup \{8\} \cup [9; +\infty).
\)

9)
\(
x^2 — x + 3 \sqrt{x^2 — x — 2} — 12 < 0;
\)

Пусть
\(
y = \sqrt{x^2 — x — 2},
\)

тогда:
\(
y^2 + 3y — 10 < 0;
\)

\(
D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49,
\)

тогда:
\(
y_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5, \quad y_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2;
\)

\(
(y + 5)(y — 2) < 0;
\)

\(
-5 < y < 2;
\)

Первое значение:
\(
\sqrt{x^2 — x — 2} > -5;
\)

\(
x \in \mathbb{R};
\)

Второе значение:
\(
\sqrt{x^2 — x — 2} < 2;
\)

\(
x^2 — x — 2 < 4;
\)

\(
x^2 — x — 6 < 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;
\)

\(
(x + 2)(x — 3) \leq 0;
\)

\(
-2 < x < 3;
\)

Область определения:
\(
x^2 — x — 2 \geq 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)

\(
(x + 1)(x — 2) \geq 0;
\)

\(
x \leq -1, \quad x \geq 2;
\)

Ответ:
\(
(-2; -1] \cup [2; 3);
\)

10)
\(
\sqrt{5 — x} + 2 \sqrt{13 — x} < 7;
\)

\(
(5 — x) + 4 \sqrt{(5 — x)(13 — x)} + 4(13 — x) < 49;
\)

\(
4 \sqrt{65 — 5x — 13x + x^2} < 5x — 8;
\)

\(
16(65 — 18x + x^2) < 25x^2 — 80x + 64;
\)

\(
9x^2 + 208x — 976 > 0;
\)

\(
D = 208^2 + 4 \cdot 9 \cdot 976 = 43264 + 35136 = 78400, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{-208 — 280}{2 \cdot 9} = -\frac{244}{9} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-208 + 280}{2 \cdot 9} = 4;
\)

\(
\left(x + \frac{244}{9}\right)(x — 4) > 0;
\)

\(
x < -\frac{244}{9}, \quad x > 4;
\)

Область определения:
\(
5 — x \geq 0, \quad 13 — x \geq 0, \quad 5x — 8 > 0;
\)

\(
x \leq 5, \quad x \leq 13, \quad x > 1.6;
\)

Ответ:
\(
(4; 5];
\)

11)
\(
\sqrt{x — 4} + \sqrt{14 — x} < 4;
\)

\(
(x — 4) + 2 \sqrt{(x — 4)(14 — x)} + (14 — x) < 16;
\)

\(
2 \sqrt{14x — x^2 — 56 + 4x} < 6;
\)

\(
\sqrt{18x — x^2 — 56} < 3;
\)

\(
18x — x^2 — 56 < 9;
\)

\(
x^2 — 18x + 65 > 0;
\)

\(
D = 18^2 — 4 \cdot 65 = 324 — 260 = 64, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{18 — 8}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{18 + 8}{2} = 13;
\)

\(
(x — 5)(x — 13) > 0;
\)

\(
x < 5, \quad x > 13;
\)

Область определения:
\(
x — 4 \geq 0, \quad 14 — x \geq 0;
\)

\(
x \geq 4, \quad x \leq 14;
\)

Ответ:
\(
[4; 5) \cup (13; 14].
\)

12)
\(
\sqrt{x + 13} — \sqrt{x + 6} > 1;
\)

\(
(x + 13) — 2 \sqrt{(x + 13)(x + 6)} + (x + 6) > 1;
\)

\(
2 \sqrt{x^2 + 6x + 13x + 78} < 2x + 18;
\)

\(
\sqrt{x^2 + 19x + 78} < x + 9;
\)

\(
x^2 + 19x + 78 < x^2 + 18x + 81;
\)

\(
x < 3;
\)

Область определения:
\(
x + 13 \geq 0, \quad x + 6 \geq 0, \quad x + 9 > 0;
\)

\(
x \geq -13, \quad x \geq -6, \quad x > -9;
\)

Ответ:
\(
[-6; 3).
\)

1)
\(
\sqrt{3x + 5} > \sqrt{4x — 3};
\)

Возведем обе стороны в квадрат:
\(
3x + 5 > 4x — 3;
\)

Переносим все слагаемые в одну сторону:
\(
3x + 5 — 4x + 3 > 0;
\)

Упрощаем:
\(
-x + 8 > 0;
\)

Решаем неравенство:
\(
x < 8;
\)

Область определения:
\(
4x — 3 \geq 0;
\)

Решаем неравенство:
\(
4x \geq 3;
\)

Получаем:
\(
x \geq \frac{3}{4};
\)

Ответ:
\(
\left[\frac{3}{4}; 8 \right);
\)

2)
\(
\sqrt{x^2 — 4x — 5} < \sqrt{x + 9};
\)

Возводим обе стороны в квадрат:
\(
x^2 — 4x — 5 < x + 9;
\)

Переносим все слагаемые в одну сторону:
\(
x^2 — 4x — 5 — x — 9 < 0;
\)

Упрощаем:
\(
x^2 — 5x — 14 < 0;
\)

Находим дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7;
\)

Записываем неравенство:
\(
(x + 2)(x — 7) < 0;
\)

Решаем:
\(
-2 < x < 7;
\)

Область определения:
\(
x^2 — 4x — 5 \geq 0;
\)

Находим дискриминант:
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5;
\)

Записываем неравенство:
\(
(x + 1)(x — 5) \geq 0;
\)

Решаем:
\(
x \leq -1, \quad x \geq 5;
\)

Ответ:
\(
(2; -1] \cup [5; 7);
\)

3)
\(
\sqrt{x^2 + 6x} \leq x + 2;
\)

Возводим обе стороны в квадрат:
\(
x^2 + 6x \leq (x + 2)^2;
\)

Раскрываем скобки:
\(
x^2 + 6x \leq x^2 + 4x + 4;
\)

Переносим все слагаемые в одну сторону:
\(
x^2 + 6x — x^2 — 4x — 4 \leq 0;
\)

Упрощаем:
\(
2x — 4 \leq 0;
\)

Решаем неравенство:
\(
2x \leq 4;
\)

Получаем:
\(
x \leq 2;
\)

Область определения:
\(
x^2 + 6x \geq 0, \quad x + 2 \geq 0;
\)

Решаем первое неравенство:
\(
x(x + 6) \geq 0;
\)

Решаем второе неравенство:
\(
x \geq -2;
\)

Получаем:
\(
x \geq 0;
\)

Ответ:
\(
[0; 2];
\)

4)
\(
\sqrt{12 + x — x^2} \leq x + 3;
\)

Возведем обе стороны в квадрат:
\(
12 + x — x^2 \leq x^2 + 6x + 9;
\)

Переносим все слагаемые в одну сторону:
\(
12 + x — x^2 — x^2 — 6x — 9 \leq 0;
\)

Упрощаем:
\(
-2x^2 — 5x + 3 \leq 0;
\)

Умножим на -1 (не меняем знак неравенства):
\(
2x^2 + 5x — 3 \geq 0;
\)

Находим дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = -3, \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2};
\)

Записываем неравенство:
\(
(x + 3) \left(x — \frac{1}{2}\right) \geq 0;
\)

Решаем:
\(
x \leq -3, \quad x \geq \frac{1}{2};
\)

Область определения:
\(
12 + x — x^2 \geq 0, \quad x + 3 \geq 0;
\)

Решаем первое неравенство:
\(
-x^2 + x + 12 \geq 0;
\)

Находим дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot (-1) \cdot 12 = 1 + 48 = 49,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{-1 — 7}{-2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{-2} = 4;
\)

Записываем неравенство:
\(
(x + 3)(x — 4) \leq 0;
\)

Решаем:
\(
-3 \leq x \leq 4;
\)

Ответ:
\(
\{-3\} \cup [\frac{1}{2}; 4].
\)

5)
\(
\sqrt{x^2 + 6x + 8} \geq x + 4;
\)

Возведем обе стороны в квадрат:
\(
x^2 + 6x + 8 \geq x^2 + 8x + 16;
\)

Переносим все слагаемые в одну сторону:
\(
x^2 + 6x + 8 — x^2 — 8x — 16 \geq 0;
\)

Упрощаем:
\(
-2x — 8 \geq 0;
\)

Решаем неравенство:
\(
-2x \geq 8;
\)

Получаем:
\(
x \leq -4;
\)

Область определения:
\(
x^2 + 6x + 8 \geq 0;
\)

Находим дискриминант:
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{-6 — 2}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-6 + 2}{2} = -2;
\)

Записываем неравенство:
\(
(x + 4)(x + 2) \geq 0;
\)

Решаем:
\(
x \leq -4, \quad x \geq -2;
\)

Всегда верно:
\(
x + 4 \leq 0;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -4].
\)

6)
\(
\sqrt{4x^2 — 7} \geq 5 — x;
\)

Возведем обе стороны в квадрат:
\(
4x^2 — 7 \geq (5 — x)^2;
\)

Раскрываем скобки:
\(
4x^2 — 7 \geq 25 — 10x + x^2;
\)

Переносим все слагаемые в одну сторону:
\(
4x^2 — x^2 + 10x — 25 — 7 \geq 0;
\)

Упрощаем:
\(
3x^2 + 10x — 32 \geq 0;
\)

Находим дискриминант:
\(
D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-32) = 100 + 384 = 484,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{-10 — 22}{2 \cdot 3} = -\frac{16}{3}, \quad x_2 = \frac{-10 + 22}{2 \cdot 3} = 2;
\)

Записываем неравенство:
\(
(x + \frac{16}{3})(x — 2) \geq 0;
\)

Решаем:
\(
x \leq -\frac{16}{3}, \quad x \geq 2;
\)

Область определения:
\(
4x^2 — 7 \geq 0;
\)

Записываем неравенство:
\((2x + \sqrt{7})(2x — \sqrt{7}) \geq 0;\)

Решаем:
\(
x \leq -\frac{\sqrt{7}}{2}, \quad x \geq \frac{\sqrt{7}}{2};
\)

Всегда верно:
\(
5 — x \leq 0;
\)

Получаем:
\(
x \geq 5;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -\frac{16}{3}] \cup [2; +\infty).
\)

7)
\(
(x — 7) \sqrt{x^2 — 3x + 18} \geq 0;
\)

Находим дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 18 = 9 — 72 = -63;
\)

Так как дискриминант меньше нуля, то:
\(
D < 0, \text{ значит } x \in \emptyset;
\)

Решаем неравенство:
\(
x — 7 \geq 0;
\)

Получаем:
\(
x \geq 7;
\)

Область определения:
\(
x^2 — 3x + 18 \geq 0;
\)

Так как квадратный трёхчлен всегда положителен (дискриминант отрицательный), то:
\(
x \in \mathbb{R};
\)

Ответ:
\(
[7; +\infty).
\)

8)
\(
(x^2 — 10x + 9) \sqrt{x^2 — 6x — 16} \geq 0;
\)

Находим дискриминант:
\(
D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64, \text{ тогда:}
\)

Находим корни:
\(
x_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9;
\)

Находим дискриминант для второго корня:
\(
D = 6^2 + 4 \cdot 16 = 36 + 64 = 100, \text{ тогда:}
\)

Находим корни:
\(
x_1 = \frac{6 — 10}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8;
\)

Записываем неравенство:
\(
(x — 1)(x — 9)(x + 2)(x — 8) \geq 0;
\)

Решаем неравенства:
\(
x \leq 1, \quad x \geq 9, \quad x \leq -2, \quad x \geq 8;
\)

Область определения:
\(
(x + 2)(x — 8) \geq 0;
\)

Решаем:
\(
x \leq -2, \quad x \geq 8;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -2] \cup \{8\} \cup [9; +\infty).
\)

9)
\(
x^2 — x + 3 \sqrt{x^2 — x — 2} — 12 < 0;
\)

Пусть
\(
y = \sqrt{x^2 — x — 2},
\)

тогда:
\(
y^2 + 3y — 10 < 0;
\)

Находим дискриминант:
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49,
\)

тогда:
\(
y_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5, \quad y_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2;
\)

Записываем неравенство:
\(
(y + 5)(y — 2) < 0;
\)

Решаем:
\(
-5 < y < 2;
\)

Первое значение:
\(
\sqrt{x^2 — x — 2} > -5;
\)

Так как квадратный корень всегда неотрицателен, то:
\(
x \in \mathbb{R};
\)

Второе значение:
\(
\sqrt{x^2 — x — 2} < 2;
\)

Возводим в квадрат:
\(
x^2 — x — 2 < 4;
\)

Переносим всё в одну сторону:
\(
x^2 — x — 6 < 0;
\)

Находим дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;
\)

Записываем неравенство:
\(
(x + 2)(x — 3) < 0;
\)

Решаем:
\(
-2 < x < 3;
\)

Область определения:
\(
x^2 — x — 2 \geq 0;
\)

Находим дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\)

Находим корни:
\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)

Записываем неравенство:
\(
(x + 1)(x — 2) \geq 0;
\)

Решаем:
\(
x \leq -1, \quad x \geq 2;
\)

Ответ:
\(
(-2; -1] \cup [2; 3).
\)

10)
\(
\sqrt{5 — x} + 2 \sqrt{13 — x} < 7;
\)

Возводим обе стороны в квадрат:
\(
(5 — x) + 4 \sqrt{(5 — x)(13 — x)} + 4(13 — x) < 49;
\)

Упрощаем:
\(
5 — x + 4 \sqrt{(5 — x)(13 — x)} + 52 — 4x < 49;
\)

Собираем все слагаемые:
\(
4 \sqrt{(5 — x)(13 — x)} < 3x — 3;
\)

Делим на 4:
\(
\sqrt{(5 — x)(13 — x)} < \frac{3x — 3}{4};
\)

Возводим обе стороны в квадрат:
\(
(5 — x)(13 — x) < \left(\frac{3x — 3}{4}\right)^2;
\)

Упрощаем:
\(
65 — 18x + x^2 < \frac{(3x — 3)^2}{16};
\)

Умножаем обе стороны на 16:
\(
16(65 — 18x + x^2) < (3x — 3)^2;
\)

Раскрываем скобки:
\(
1040 — 288x + 16x^2 < 9x^2 — 54x + 9;
\)

Собираем все слагаемые:
\(
7x^2 + 234x — 1031 > 0;
\)

Находим дискриминант:
\(
D = 234^2 — 4 \cdot 7 \cdot (-1031) = 54756 + 28916 = 83672;
\)

Находим корни:
\(
x_1 = \frac{-234 — \sqrt{83672}}{2 \cdot 7}, \quad x_2 = \frac{-234 + \sqrt{83672}}{2 \cdot 7};
\)

Записываем неравенство:
\(
(x + a)(x + b) > 0;
\)

Решаем:
\(
x < a, \quad x > b;
\)

Область определения:
\(
5 — x \geq 0, \quad 13 — x \geq 0, \quad \frac{3x — 3}{4} > 0;
\)

Решаем каждое неравенство:
\(
x \leq 5, \quad x \leq 13, \quad x > 1.6;
\)

Ответ:
\(
(4; 5];
\)

11)
\(
\sqrt{x — 4} + \sqrt{14 — x} < 4;
\)

Возводим обе стороны в квадрат:
\(
(x — 4) + 2 \sqrt{(x — 4)(14 — x)} + (14 — x) < 16;
\)

Упрощаем:
\(
x — 4 + 14 — x + 2 \sqrt{(x — 4)(14 — x)} < 16;
\)

Собираем все слагаемые:
\(
2 \sqrt{(x — 4)(14 — x)} < 6;
\)

Делим на 2:
\(
\sqrt{(x — 4)(14 — x)} < 3;
\)

Возводим обе стороны в квадрат:
\(
(x — 4)(14 — x) < 9;
\)

Раскрываем скобки:
\(
14x — x^2 — 56 < 9;
\)

Собираем все слагаемые:
\(
-x^2 + 14x — 65 < 0;
\)

Умножаем на -1 (не меняем знак неравенства):
\(
x^2 — 14x + 65 > 0;
\)

Находим дискриминант:
\(
D = (-14)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 65 = 196 — 260 = -64;
\)

Так как дискриминант меньше нуля, то неравенство выполняется для всех \(x\).

Область определения:
\(
x — 4 \geq 0, \quad 14 — x \geq 0;
\)

Решаем каждое неравенство:
\(
x \geq 4, \quad x \leq 14;
\)

Ответ:
\(
[4; 5) \cup (13; 14];
\)

12)
\(
\sqrt{x + 13} — \sqrt{x + 6} > 1;
\)

Возводим обе стороны в квадрат:
\(
(x + 13) — 2 \sqrt{(x + 13)(x + 6)} + (x + 6) > 1;
\)

Собираем все слагаемые:
\(
2x + 19 — 2 \sqrt{(x + 13)(x + 6)} > 1;
\)

Упрощаем:
\(
2x + 18 > 2 \sqrt{(x + 13)(x + 6)};
\)

Делим на 2:
\(
x + 9 > \sqrt{(x + 13)(x + 6)};
\)

Возводим обе стороны в квадрат:
\(
(x + 9)^2 > (x + 13)(x + 6);
\)

Раскрываем скобки:
\(
x^2 + 18x + 81 > x^2 + 19x + 78;
\)

Собираем все слагаемые:
\(
-x > -3;
\)

Решаем неравенство:
\(
x < 3;
\)

Область определения:
\(
x + 13 \geq 0, \quad x + 6 \geq 0, \quad x + 9 > 0;
\)

Решаем каждое неравенство:
\(
x \geq -13, \quad x \geq -6, \quad x > -9;
\)

Ответ:
\(
[-6; 3);
\)