ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.224 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( 13x^2 — 12xy + 4y^2 — 4x + 1 = 0; \)

2) \( |y| + 2 = \sqrt{4 — x^2}. \)

1) \(13x^2 — 12xy + 4y^2 — 4x + 1 = 0\);
\((9x^2 — 12xy + 4y^2) + (4x^2 — 4x + 1) = 0\);
\((3x — 2y)^2 + (2x — 1)^2 = 0\);
\(2x — 1 = 0, \quad 3x — 2y = 0\);
\(2x = 1, \quad 2y = 3x\);
\(x = \frac{1}{2}, \quad y = \frac{3}{2} x = \frac{3}{4}\);

Ответ: \(\left(\frac{1}{2}; \frac{3}{4}\right)\).

2) \(|y| + 2 = \sqrt{4 — x^2}\);
\(|y| + 2 \geq 2, \quad \sqrt{4 — x^2} \leq 2\);
\(|y| + 2 = 2, \quad \sqrt{4 — x^2} = 2\);
\(|y| = 0, \quad 4 — x^2 = 4\);
\(y = 0, \quad x^2 = 0\);
\(x = y = 0\);

Ответ: \((0; 0)\).

1) Рассмотрим уравнение:

\(
13x^2 — 12xy + 4y^2 — 4x + 1 = 0.
\)

Мы можем переписать его в следующем виде:

\(
(9x^2 — 12xy + 4y^2) + (4x^2 — 4x + 1) = 0.
\)

Теперь заметим, что первое выражение является полным квадратом:

\(
(3x — 2y)^2 + (2x — 1)^2 = 0.
\)

Так как сумма квадратов равна нулю, каждое из них должно быть равно нулю:

\(
2x — 1 = 0, \quad 3x — 2y = 0.
\)

Решим первое уравнение:

\(
2x = 1 — x = \frac{1}{2}.
\)

Теперь подставим значение \(x\) во второе уравнение:

\(
3x — 2y = 0 — 3 \cdot \frac{1}{2} — 2y = 0 — \frac{3}{2} — 2y = 0 — 2y = \frac{3}{2} — y = \frac{3}{4}.
\)

Таким образом, решение уравнения:

\(
\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right).
\)

2) Рассмотрим уравнение:

\(
|y| + 2 = \sqrt{4 — x^2}.
\)

Сначала проанализируем неравенства, которые возникают из этого уравнения:

\(
|y| + 2 \geq 2, \quad \sqrt{4 — x^2} \leq 2.
\)

Из первого неравенства получаем:

\(
|y| + 2 = 2 — |y| = 0.
\)

Из второго неравенства имеем:

\(
\sqrt{4 — x^2} = 2 — 4 — x^2 = 4 — x^2 = 0.
\)

Таким образом, мы находим:

\(
y = 0, \quad x^2 = 0 — x = 0.
\)

Следовательно, решение уравнения:

\(
(0, 0).
\)