ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.226 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график уравнения:

1) \((x — 3)^2 = (y + 5)^2;\)

2) \(x^2 y = |y|;\)

3) \(x + 2 = \sqrt{|y| — 1};\)

4) \(|y — 1| = \sqrt{x};\)

5) \(|y — 3| + |x| = 1;\)

6) \(|x| — 3 = \sqrt{9 — y^2};\)

7) \(\frac{y — x^2}{1 — x^2} = 1.\)

1)
\(
(x — 3)^2 = (y + 5)^2;
\)

Первое уравнение:
\(
x — 3 = -y — 5;
\)
\(
y = -x — 2;
\)

Второе уравнение:
\(
x — 3 = y + 5;
\)
\(
y = x — 8;
\)

График уравнения:

2)
\(
x^2 y = |y|;
\)

Если \(y > 0\), тогда:
\(
y = x^2 y;
\)
\(
x^2 = 1;
\)
\(
x = \pm 1;
\)

Если \(y < 0\), тогда:
\(
-y = x^2 y;
\)
\(
x^2 = -1;
\)
\(
x \in \emptyset;
\)

Если \(y = 0\), тогда:
\(
0 \cdot x = 0;
\)
\(
x \in \mathbb{R};
\)

График уравнения:

3)
\(
x + 2 = \sqrt{|y| — 1};
\)

Если \(y \geq 0\), тогда:
\(
\sqrt{y — 1} = x + 2;
\)
\(
y — 1 = x^2 + 4x + 4;
\)
\(
y = x^2 + 4x + 5;
\)

Если \(y < 0\), тогда:
\(
\sqrt{-y — 1} = x + 2;
\)
\(
-y — 1 = x^2 + 4x + 4;
\)
\(
y = -x^2 — 4x — 5;
\)

Область определения:
\(
|y| — 1 \geq 0, \quad x + 2 \geq 0;
\)
\(
|y| \geq 1, \quad x \geq -2;
\)

График уравнения:

4)
\(
|y — 1| = \sqrt{x};
\)

Если \(y \geq 1\), тогда:
\(
y — 1 = \sqrt{x};
\)
\(
y = \sqrt{x} + 1;
\)

Если \(y < 1\), тогда:
\(
1 — y = \sqrt{x};
\)
\(
y = 1 — \sqrt{x};
\)

Область определения:
\(
x \geq 0;
\)

График уравнения:

5)
\(
|y — 3| + |x| = 1;
\)

Если \(y \geq 3\) и \(x \geq 0\), тогда:
\(
y — 3 + x = 1;
\)
\(
y = 4 — x;
\)

График уравнения:

6)
\(
|x| — 3 = \sqrt{9 — y^2};
\)

Если \(x \geq 0\), тогда:
\(
x — 3 = \sqrt{9 — y^2};
\)
\(
x^2 — 6x + 9 = 9 — y^2;
\)
\(
y^2 = 6x — x^2;
\)
\(
y = \pm \sqrt{6x — x^2}, \quad x \geq 3;
\)

Если \(x < 0\), тогда:
\(
-x — 3 = \sqrt{9 — y^2};
\)
\(
x^2 + 6x + 9 = 9 — y^2;
\)
\(
y^2 = -6x — x^2;
\)
\(
y = \pm \sqrt{-6x — x^2}, \quad x \leq -3;
\)

Область определения:
\(
9 — y^2 \geq 0;
\)
\(
(y + 3)(y — 3) \leq 0;
\)
\(
-3 \leq y \leq 3;
\)

График уравнения:

7)
\(
\frac{y — x^2}{1 — x^2} = 1;
\)
\(
y — x^2 = 1 — x^2;
\)
\(
y = 1;
\)

Область определения:
\(
1 — x^2 \neq 0;
\)
\(
x \neq \pm 1;
\)

График уравнения:

1) Рассмотрим уравнение:

\(
(x — 3)^2 = (y + 5)^2;
\)

Это уравнение можно переписать в двух формах:

Первое уравнение:
\(
x — 3 = -y — 5;
\)
Перепишем его в виде:
\(
y = -x — 2.
\)

Второе уравнение:
\(
x — 3 = y + 5;
\)
Перепишем его в виде:
\(
y = x — 8.
\)

График уравнения представляет собой две прямые: \(y = -x — 2\) и \(y = x — 8\).

2) Рассмотрим уравнение:

\(
x^2 y = |y|;
\)

Если \(y > 0\), тогда:
\(
y = x^2 y;
\)
Перепишем это уравнение:
\(
x^2 = 1;
\)
Следовательно, получаем:
\(
x = \pm 1.
\)

Если \(y < 0\), тогда:
\(
-y = x^2 y;
\)
Перепишем это уравнение:
\(
x^2 = -1;
\)
Таким образом, решение не существует:
\(
x \in \emptyset.
\)

Если \(y = 0\), тогда:
\(
0 \cdot x = 0;
\)
Это верно для любого \(x\):
\(
x \in \mathbb{R}.
\)

График уравнения показывает две вертикальные линии \(x = 1\) и \(x = -1\), а также ось \(x\) для \(y=0\).

3) Рассмотрим уравнение:

\(
x + 2 = \sqrt{|y| — 1};
\)

Если \(y \geq 0\), тогда:
\(
\sqrt{y — 1} = x + 2;
\)
Возведем обе стороны в квадрат:
\(
y — 1 = x^2 + 4x + 4;
\)
Следовательно, получаем:
\(
y = x^2 + 4x + 5.
\)

Если \(y < 0\), тогда:
\(
\sqrt{-y — 1} = x + 2;
\)
Возведем обе стороны в квадрат:
\(
-y — 1 = x^2 + 4x + 4;
\)
Следовательно, получаем:
\(
y = -x^2 — 4x — 5.
\)

Область определения:
\(
|y| — 1 \geq 0, \quad x + 2 \geq 0;
\)
Это приводит к условиям:
\(
|y| \geq 1, \quad x \geq -2.
\)

График уравнения представляет собой две ветви: парабола \(y = x^2 + 4x + 5\) при \(y \geq 1\) и парабола \(y = -x^2 — 4x — 5\) при \(y \leq -1\), обе при \(x \geq -2\).

4) Рассмотрим уравнение:

\(
|y — 1| = \sqrt{x};
\)

Если \(y \geq 1\), тогда:
\(
y — 1 = \sqrt{x};
\)
Следовательно, получаем:
\(
y = \sqrt{x} + 1.
\)

Если \(y < 1\), тогда:
\(
1 — y = \sqrt{x};
\)
Следовательно, получаем:
\(
y = 1 — \sqrt{x}.
\)

Область определения:
\(
x \geq 0.
\)

График уравнения показывает две ветви: верхняя \(y = \sqrt{x} + 1\) и нижняя \(y = 1 — \sqrt{x}\), обе начинаются в точке \((0,1)\) и расходятся вправо.

5) Рассмотрим уравнение:

\(
|y — 3| + |x| = 1;
\)

Если \(y \geq 3\) и \(x \geq 0\), тогда:
\(
y — 3 + x = 1;
\)
Следовательно, получаем:
\(
y = 4 — x.
\)

График уравнения представляет собой ромб с вершинами около точек \((0,4)\), \((1,3)\), \((0,2)\), \((-1,3)\).

6) Рассмотрим уравнение:

\(
|x| — 3 = \sqrt{9 — y^2};
\)

Если \(x \geq 0\), тогда:
\(
x — 3 = \sqrt{9 — y^2};
\)
Возведем обе стороны в квадрат:
\(
x^2 — 6x + 9 = 9 — y^2;
\)
Следовательно, получаем:
\(
y^2 = 6x — x^2;
\)
Таким образом, получаем:
\(
y = \pm \sqrt{6x — x^2}, \quad x \geq 3.
\)

Если \(x < 0\), тогда:
\(
-x — 3 = \sqrt{9 — y^2};
\)
Возведем обе стороны в квадрат:
\(
x^2 + 6x + 9 = 9 — y^2;
\)
Следовательно, получаем:
\(
y^2 = -6x — x^2;
\)
Таким образом, получаем:
\(
y = \pm \sqrt{-6x — x^2}, \quad x \leq -3.
\)

Область определения:
\(
9 — y^2 \geq 0;
\)
Это приводит к условию:
\(
(y + 3)(y — 3) \leq 0;
\)
Следовательно, получаем:
\(
-3 \leq y \leq 3.
\)

График уравнения показывает две ветви кривой, симметричные относительно оси \(y\), ограниченные по \(y\) значениями от -3 до 3, и по \(x\) слева от -3 и справа от 3.

Рассмотрим уравнение:

\(
\frac{y — x^2}{1 — x^2} = 1;
\)

Для начала умножим обе стороны уравнения на \(1 — x^2\) (при условии, что \(1 — x^2 \neq 0\)):

\(
y — x^2 = 1 — x^2.
\)

Теперь перенесем \(x^2\) в правую часть уравнения:

\(
y = 1 — x^2 + x^2.
\)

Упрощаем выражение:

\(
y = 1.
\)

Таким образом, мы получили, что \(y\) всегда равно 1, независимо от значения \(x\).

Теперь определим область определения. Условие \(1 — x^2 \neq 0\) подразумевает, что:

\(
1 \neq x^2.
\)

Это означает, что:

\(
x^2 \neq 1.
\)

Следовательно, мы получаем два исключения:

\(
x \neq 1 \quad \text{и} \quad x \neq -1.
\)

Таким образом, область определения уравнения:

\(
x \in \mathbb{R}, \quad x \neq \pm 1.
\)

График уравнения представляет собой горизонтальную прямую \(y = 1\), с разрывами в точках \(x = -1\) и \(x = 1\). Это означает, что прямая не существует в этих точках.