ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.227 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график уравнения:

1) \((x — 1)^2 = (x + 2y)^2;\)

2) \(x |y| = x^2;\)

3) \(x + 2 = \sqrt{|y — 1|};\)

4) \(|y| — 1 = \sqrt{x};\)

5) \(|y + 1| + |x — 2| = 2;\)

6) \((|x| — 1)^2 + (|y| — 3)^2 = 4;\)

7) \(\frac{(x^2 — 4)(x + y)}{y^2 — 1} = 0.\)

1) \((x — 1)^2 = (x + 2y)^2;\)

Первое уравнение:
\(
x — 1 = -x — 2y;
\)
\(
2y = 1 — 2x;
\)
\(
y = 0{,}5 — x;
\)

Второе уравнение:
\(
x — 1 = x + 2y;
\)
\(
2y = -1;
\)
\(
y = -0{,}5;
\)

График уравнения:

2)
\(
x|y| = x^2;
\)

Если \(y > 0\), тогда:
\(
xy = x^2;
\)
\(
x = 0, \quad y = x;
\)

Если \(y < 0\), тогда:
\(
-xy = x^2;
\)
\(
x = 0, \quad y = -x;
\)

Если \(y = 0\), тогда:
\(
0 \cdot x = x^2;
\)
\(
x = 0;
\)

График уравнения:

3)
\(
x + 2 = \sqrt{|y — 1|};
\)

Если \(y \geq 1\), тогда:
\(
\sqrt{y — 1} = x + 2;
\)
\(
y — 1 = x^2 + 4x + 4;
\)
\(
y = x^2 + 4x + 5;
\)

Если \(y < 1\), тогда:
\(
\sqrt{1 — y} = x + 2;
\)
\(
1 — y = x^2 + 4x + 4;
\)
\(
y = -x^2 — 4x — 3;
\)

Область определения:
\(
x + 2 \geq 0;
\)
\(
x \geq -2;
\)

График уравнения:

4)
\(
|y| — 1 = \sqrt{x};
\)

Если \(y \geq 0\), тогда:
\(
y — 1 = \sqrt{x};
\)
\(
y = \sqrt{x} + 1;
\)

Если \(y < 0\), тогда:
\(
-y — 1 = \sqrt{x};
\)
\(
y = -\sqrt{x} — 1;
\)

Область определения:
\(
x \geq 0;
\)

График уравнения:

5)
\(
|y + 1| + |x — 2| = 2;
\)

Если \(y \geq -1\) и \(x \geq 2\), тогда:
\(
y + 1 + x — 2 = 2;
\)
\(
y = 3 — x;
\)

График уравнения:

6)
\(
(|x| — 1)^2 + (|y| — 3)^2 = 4;
\)

Если \(x \geq 0\) и \(y \geq 0\), тогда:
\(
(x — 1)^2 + (y — 3)^2 = 4;
\)

\(
x_0 = 1, \quad y_0 = 3, \quad R = 2;
\)

График уравнения:

7)
\(
\frac{(x^2 — 4)(x + y)}{y^2 — 1} = 0;
\)

\(
x = \pm 2, \quad y = -x;
\)

Область определения:
\(
y^2 — 1 \neq 0;
\)
\(
y \neq \pm 1;
\)

График уравнения:

1) \((x — 1)^2 = (x + 2y)^2;\)

Первое уравнение:
\(
x — 1 = -x — 2y;
\)
Переписываем:
\(
2y = 1 — 2x;
\)
Следовательно:
\(
y = 0{,}5 — x;
\)

Второе уравнение:
\(
x — 1 = x + 2y;
\)
Переписываем:
\(
2y = -1;
\)
Следовательно:
\(
y = -0{,}5;
\)

График уравнения: на графике изображены две прямые: первая — \(y = 0{,}5 — x\) и вторая — \(y = -0{,}5\).

2) \(x|y| = x^2;\)

Если \(y > 0\), тогда:
\(
xy = x^2;
\)
Следовательно:
\(
x = 0, \quad y = x.
\)

Если \(y < 0\), тогда:
\(
-xy = x^2;
\)
Следовательно:
\(
x = 0, \quad y = -x.
\)

Если \(y = 0\), тогда:
\(
0 \cdot x = x^2;
\)
Следовательно:
\(
x = 0.
\)

График уравнения: на графике изображены три линии: \(y = x\) для \(x \geq 0\), \(y = -x\) для \(x \geq 0\), и линия \(x=0\).

3) \(x + 2 = \sqrt{|y — 1|};\)

Если \(y \geq 1\), тогда:
\(
\sqrt{y — 1} = x + 2;
\)
Следовательно:
\(
y — 1 = x^2 + 4x + 4;
\)
Итак:
\(
y = x^2 + 4x + 5;
\)

Если \(y < 1\), тогда:
\(
\sqrt{1 — y} = x + 2;
\)
Следовательно:
\(
1 — y = x^2 + 4x + 4;
\)
Итак:
\(
y = -x^2 — 4x — 3;
\)

Область определения:
\(
x + 2 \geq 0;
\)
Следовательно:
\(
x \geq -2.
\)

График уравнения: на графике изображены две ветви: парабола \(y = x^2 + 4x + 5\) при \(x \geq -2\) и парабола \(y = -x^2 — 4x — 3\) при \(x \geq -2\).

4) \(|y| — 1 = \sqrt{x};\)

Если \(y \geq 0\), тогда:
\(
y — 1 = \sqrt{x};
\)
Следовательно:
\(
y = \sqrt{x} + 1.
\)

Если \(y < 0\), тогда:
\(
-y — 1 = \sqrt{x};
\)
Следовательно:
\(
y = -\sqrt{x} — 1.
\)

Область определения:
\(
x \geq 0.
\)

График уравнения: на графике изображены две ветви: верхняя ветвь \(y = \sqrt{x} + 1\) и нижняя ветвь \(y = -\sqrt{x} — 1\).

5) \(|y + 1| + |x — 2| = 2;\)

Если \(y \geq -1\) и \(x \geq 2\), тогда:
\(
y + 1 + x — 2 = 2;
\)
Следовательно:
\(
y = 3 — x.
\)

График уравнения: на графике изображён ромб, соответствующий уравнению с модулем.

6)

\(
(|x| — 1)^2 + (|y| — 3)^2 = 4;
\)

Если \(x \geq 0\) и \(y \geq 0\), тогда:

\(
(x — 1)^2 + (y — 3)^2 = 4;
\)

Это уравнение описывает окружность с центром в точке \((1, 3)\) и радиусом \(R = 2\).

Если \(x < 0\), тогда:

\(
(-x — 1)^2 + (y — 3)^2 = 4;
\)

Если \(y < 0\), тогда:

\(
(x — 1)^2 + (-y + 3)^2 = 4;
\)

Если \(x < 0\) и \(y < 0\), тогда:

\(
(-x — 1)^2 + (-y + 3)^2 = 4;
\)

Таким образом, график уравнения представляет собой четыре окружности, каждая из которых имеет радиус \(2\) и центры в точках \((1, 3)\), \((-1, 3)\), \((1, -3)\) и \((-1, -3)\).

7)

\(
\frac{(x^2 — 4)(x + y)}{y^2 — 1} = 0;
\)

Для того чтобы дробь равнялась нулю, необходимо, чтобы числитель равнялся нулю. Таким образом, мы получаем два случая:

1) \(x^2 — 4 = 0;\)

Решим это уравнение:

\(
x^2 = 4;
\)

Следовательно:

\(
x = \pm 2.
\)

2) \(x + y = 0;\)

Следовательно:

\(
y = -x.
\)

Теперь определим область определения. Условие:

\(
y^2 — 1 \neq 0;
\)

означает, что:

\(
y^2 \neq 1;
\)

Следовательно:

\(
y \neq \pm 1.
\)

График уравнения: на графике изображены вертикальные линии \(x = -2\) и \(x = 2\), а также прямая \(y = -x\). Точки разрыва отмечены при \(y = \pm 1\).

Для того чтобы дробь равнялась нулю, необходимо, чтобы числитель равнялся нулю. Таким образом, мы получаем два случая:

1) \(x^2 — 4 = 0;\)

Решим это уравнение:

\(
x^2 = 4;
\)

Следовательно:

\(
x = \pm 2.
\)

2) \(x + y = 0;\)

Следовательно:

\(
y = -x.
\)

Теперь определим область определения. Условие:

\(
y^2 — 1 \neq 0;
\)

означает, что:

\(
y^2 \neq 1;
\)

Следовательно:

\(
y \neq \pm 1.
\)

График уравнения: на графике изображены вертикальные линии \(x = -2\) и \(x = 2\), а также прямая \(y = -x\). Точки разрыва отмечены при \(y = \pm 1\).