ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.228 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите все пары чисел (х; y), удовлетворяющие уравнению:

1) \(\sqrt{x^2 — 4x} + \sqrt{y — 2} = 0\);

2) \(\sqrt{x^2 — 6x + 5} + \sqrt{y^2 — y — 2} = 0\);

3) \(\sqrt{x + y} + \sqrt{x^2 — 1} + \sqrt{y^2 — 1} = 0\).

Найти все пары чисел \(x\) и \(y\):

1)
\(
\sqrt{x^2 — 4x} + \sqrt{y — 2} = 0;
\)
\(
x(x — 4) = 0, \quad y — 2 = 0;
\)
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 4, \quad y = 2;
\)
Ответ: \((0; 2); (4; 2)\).

2)
\(
\sqrt{x^2 — 6x + 5} + \sqrt{y^2 — y — 2} = 0;
\)

Первое уравнение:
\(
x^2 — 6x + 5 = 0;
\)
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;
\)

Второе уравнение:
\(
y^2 — y — 2 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,
\)
тогда:
\(
y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)

Ответ:
\(
(1; -1); (1; 2); (5; -1); (5; 2).
\)

3)
\(
\sqrt{x + y} + \sqrt{x^2 — 1} + \sqrt{y^2 — 1} = 0;
\)
\(
x + y = 0, \quad x^2 — 1 = 0, \quad y^2 — 1 = 0;
\)
\(
x = -y, \quad x = \pm 1, \quad y = \pm 1;
\)

Ответ:
\(
(-1; 1); (1; -1).
\)

Найти все пары чисел \(x\) и \(y\):

1)
\(
\sqrt{x^2 — 4x} + \sqrt{y — 2} = 0;
\)
Из этого уравнения следует, что оба корня должны быть равны нулю, поскольку корень не может быть отрицательным. Таким образом, мы получаем два уравнения:
\(
x^2 — 4x = 0, \quad y — 2 = 0;
\)
Решим первое уравнение:
\(
x(x — 4) = 0 — x_1 = 0, \quad x_2 = 4;
\)
Решим второе уравнение:
\(
y = 2;
\)
Таким образом, получаем пары:
\(
(0; 2), \quad (4; 2).
\)
Ответ: \((0; 2); (4; 2)\).

2)
\(
\sqrt{x^2 — 6x + 5} + \sqrt{y^2 — y — 2} = 0;
\)
Аналогично, оба корня должны быть равны нулю. Начнем с первого уравнения:
\(
x^2 — 6x + 5 = 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16.
\)
Теперь найдем корни:
\(
x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;
\)
Решим второе уравнение:
\(
y^2 — y — 2 = 0;
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9.
\)
Теперь найдем корни:
\(
y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)
Таким образом, получаем пары:
\(
(1; -1), \quad (1; 2), \quad (5; -1), \quad (5; 2).
\)
Ответ: \((1; -1); (1; 2); (5; -1); (5; 2)\).

3)
\(
\sqrt{x + y} + \sqrt{x^2 — 1} + \sqrt{y^2 — 1} = 0;
\)
Так как сумма корней равна нулю, все три выражения также должны быть равны нулю. Мы получаем систему уравнений:
\(
x + y = 0, \quad x^2 — 1 = 0, \quad y^2 — 1 = 0;
\)
Из первого уравнения получаем:
\(
y = -x.
\)
Решим второе уравнение:
\(
x^2 — 1 = 0 — x = \pm 1.
\)
Теперь подставим значения \(x\) в выражение для \(y\):
Если \(x = 1\), то \(y = -1\); если \(x = -1\), то \(y = 1\). Таким образом, получаем пары:
\(
(-1; 1), \quad (1; -1).
\)
Ответ: \((-1; 1); (1; -1)\).