ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Существует ли целое число, дающее при делении на 6 остаток 4, а при делении на 9 остаток 5?

Существует ли число \( n \):

\(
n = 6k + 4, \quad n = 9m + 5;
\)

1) Из условия:

\(
6k + 4 = 9m + 5;
\)
\(
6k — 9m = 1;
\)
\(
3(2k — 3m) = 1;
\)
\(
2k — 3m = \frac{1}{3};
\)

2) Все числа целые:

\(
2k \in \mathbb{Z}, \quad 3m \in \mathbb{Z};
\)
\(
(2k — 3m) \in \mathbb{Z};
\)
\(
2k — 3m \neq \frac{1}{3};
\)

Ответ: нет.

Существует ли число \( n \):

\(
n = 6k + 4, \quad n = 9m + 5;
\)

Рассмотрим подробнее:

1) Из условия:

Равенство двух выражений для \( n \):

\(
6k + 4 = 9m + 5
\)

Переносим все члены в одну сторону:

\(
6k + 4 — 9m — 5 = 0
\)

Упрощаем:

\(
6k — 9m — 1 = 0
\)

или

\(
6k — 9m = 1
\)

Вынесем общий множитель:

\(
3(2k — 3m) = 1
\)

Разделим обе части на 3:

\(
2k — 3m = \frac{1}{3}
\)

2) Проверим целочисленность выражения:

Поскольку \( k \) и \( m \) — целые числа, то \( 2k \) и \( 3m \) — также целые числа. Разность двух целых чисел всегда является целым числом, то есть

\(
2k — 3m \in \mathbb{Z}
\)

Однако из полученного ранее уравнения:

\(
2k — 3m = \frac{1}{3}
\)

Правая часть — не целое число, а левая — всегда целое. Таким образом, равенство невозможно.

Ответ: нет.