ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.230 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график неравенства:

1) \( y < |x-3| + 1 \)

2) \( |x-2| — |y+1| > 2 \)

3) \( (x-y)|x| < 0 \)

4) \( \frac{x^2 + y^2 — 1}{y^2} > 0 \)

1) \( y \leq |x — 3| + 1 \);
Если \( x \geq 3 \), тогда:
\( y \leq x — 3 + 1; \)
\( y \leq x — 2; \)

Если \( x < 3 \), тогда:
\( y \leq 3 — x + 1; \)
\( y \leq 4 — x; \)

График неравенства:

2) \( |x — 2| — |y + 1| > 2; \)
Если \( x \geq 2 \) и \( y \geq -1 \), тогда:
\( x — 2 — y — 1 > 2; \)
\( y < x — 5; \)

График неравенства:

3) \( (x — y)|x| < 0; \)

Если \( x \geq 0 \), тогда:
\( (x — y)x < 0; \)
\( x^2 — xy < 0; \)
\( xy > x^2; \)
\( y > x; \)

Если \( x < 0 \), тогда:
\( (x — y)(-x) < 0; \)
\( -x^2 + xy < 0; \)
\( xy < x^2; \)
\( y > x; \)

График неравенства:

4) \( \frac{x^2 + y^2 — 1}{y^2} \geq 0; \)

\( x^2 + y^2 — 1 \geq 0, \quad y^2 \neq 0; \)

\( x^2 + y^2 \geq 1, \quad y \neq 0; \)

\( x_0 \neq 0, \quad y_0 \neq 0, \quad R = 1; \)

График неравенства:

1) Неравенство: \( y \leq |x — 3| + 1 \)

— Анализ:
— Когда \( x \geq 3 \):
— \( |x — 3| = x — 3 \)
— Подставляем в неравенство:
\(
y \leq (x — 3) + 1 — y \leq x — 2
\)
— Когда \( x < 3 \):
— \( |x — 3| = 3 — x \)
— Подставляем в неравенство:
\(
y \leq (3 — x) + 1 — y \leq 4 — x
\)

— График: Область, находящаяся ниже или на линии \( y = x — 2 \) для \( x \geq 3 \) и ниже или на линии \( y = 4 — x \) для \( x < 3 \).

2) Неравенство: \( |x — 2| — |y + 1| > 2 \)

— Анализ:
— Если \( x \geq 2 \) и \( y \geq -1 \):
— \( |x — 2| = x — 2 \) и \( |y + 1| = y + 1 \)
— Подставляем:
\(
(x — 2) — (y + 1) > 2 — x — y — 3 > 2 — y < x — 5
\)
— Если \( x < 2 \) или \( y < -1 \), необходимо рассмотреть другие случаи для абсолютных величин.

— График: Область, где неравенство выполняется, будет ограничена линией \( y = x — 5 \).

3) Неравенство: \( (x — y)|x| < 0 \)

— Анализ:
— Если \( x \geq 0 \):
— Неравенство становится:
\(
(x — y)x < 0
\)
— Это означает, что \( x — y < 0 \), следовательно, \( y > x \).
— Если \( x < 0 \):
— Неравенство становится:
\(
(x — y)(-x) < 0
\)
— Это также приводит к тому, что \( y > x \).

— График: Область выше линии \( y = x \).

4) Неравенство: \( \frac{x^2 + y^2 — 1}{y^2} \geq 0 \)

— Анализ:
— Условие выполняется, если числитель неотрицателен и знаменатель положителен:
\(
x^2 + y^2 — 1 \geq 0, \quad y^2 > 0
\)
— Это означает, что:
\(
x^2 + y^2 \geq 1
\)
и \( y \neq 0 \).

— График: Область вне круга радиуса 1 с центром в начале координат. Ось абсцисс (линия \( y = 0 \)) не включена в область.