ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.232 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Изобразите на координатной плоскости ху множество решений системы неравенств:

1) \( \{(y + x — 2 > 0, \, x — 3y < 1)\} \)

2) \( \{(x^2 + y^2 < 4, \, y > |x| + 1)\} \)

1)
\(
\begin{cases}
y + x — 2 > 0 \\
x — 3y \leq 1
\end{cases}
\)

Первое неравенство:
\(
y + x — 2 > 0; \quad y > 2 — x;
\)

Второе неравенство:
\(
x — 3y \leq 1; \quad 3y \geq x — 1; \quad y \geq \frac{1}{3}x — \frac{1}{3};
\)

Множество решений:

2)
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 \leq 4 \\
y \geq |x| + 1
\end{cases}
\)

Первое неравенство:
\(
x^2 + y^2 \leq 4; \quad x_0 = 0, \quad y_0 = 0, \quad R = 2;
\)

Второе неравенство:
\(
y \geq |x| + 1;
\)
что эквивалентно
\(
y \geq x + 1, \quad x \geq 0;
\)
\(
y \geq 1 — x, \quad x < 0;
\)

Множество решений:

1)

Рассмотрим систему неравенств:

\(
\begin{cases}
y + x — 2 > 0 \\
x — 3y \leq 1
\end{cases}
\)

Первое неравенство:

\(
y + x — 2 > 0
\)

Преобразуем его:

\(
y > 2 — x
\)

Это неравенство задаёт область выше прямой \( y = 2 — x \).

Второе неравенство:

\(
x — 3y \leq 1
\)

Преобразуем его:

\(
3y \geq x — 1 \quad \Rightarrow \quad y \geq \frac{1}{3}x — \frac{1}{3}
\)

Это неравенство задаёт область выше прямой \( y = \frac{1}{3}x — \frac{1}{3} \).

Множество решений: Область, находящаяся выше обеих прямых, будет представлять собой область, заштрихованную на графике.

2)

Рассмотрим систему неравенств:

\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 \leq 4 \\
y \geq |x| + 1
\end{cases}
\)

Первое неравенство:

\(
x^2 + y^2 \leq 4
\)

Это неравенство задаёт круг радиуса \( R = 2 \) с центром в точке \( (0, 0) \).

Второе неравенство:

\(
y \geq |x| + 1
\)

Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам:

\(
y \geq x + 1, \quad x \geq 0
\)

и

\(
y \geq 1 — x, \quad x < 0
\)

Эти неравенства задают область выше двух прямых, пересекающихся в точке \( (0, 1) \).

Множество решений: Область, находящаяся внутри круга и выше обеих прямых, будет представлять собой область, заштрихованную на графике.