ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.235 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \( f(x) = \sqrt{\frac{(x + 3)(x — 2)}{x}} \)

2) \( f(x) = \sqrt{\frac{x^2 — 6x + 9}{x^2 — 5x + 4}} \)

3) \( f(x) = \sqrt{\frac{17 — 15x — 2x^2}{x + 3}} \)

4) \( f(x) = \sqrt{12x^2 — 4x^3 — 9x} — \sqrt{2 — |x|} \)

5) \( f(x) = \sqrt{\frac{7 — x}{\sqrt{4x^2 — 19x + 12}}} \)

6) \( f(x) = \sqrt{|x — 1|(3x — 6)} + \frac{3}{x^2 + 4x — 21} \)

1)
\(
f(x) = \sqrt{\frac{(x+3)(x-2)}{x}};
\)

Область определения:
\(
\frac{(x+3)(x-2)}{x} \geq 0;
\)
\(
-3 \leq x < 0, \quad x \geq 2;
\)

Ответ:
\(
D(x) = [-3; 0) \cup [2; +\infty);
\)

2)
\(
f(x) = \sqrt{\frac{x^2 — 6x + 9}{x^2 — 5x + 4}};
\)

Область определения:
\(
\frac{x^2 — 6x + 9}{x^2 — 5x + 4} \geq 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9,
\)
тогда корни:
\(
x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;
\)

\(
\frac{(x-3)^2}{(x-1)(x-4)} \geq 0;
\)

Область:
\(
x < 1, \quad x > 4, \quad x = 3;
\)

Ответ:
\(
D(x) = (-\infty; 1) \cup \{3\} \cup (4; +\infty).
\)

3)
\(
f(x) = \sqrt{\frac{17 — 15x — 2x^2}{x + 3}};
\)

Область определения:
\(
17 — 15x — 2x^2 \geq 0, \quad x + 3 > 0;
\)

Решаем неравенство:
\(
2x^2 + 15x — 17 \leq 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 15^2 + 4 \cdot 2 \cdot 17 = 225 + 136 = 361,
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{-15 — 19}{2 \cdot 2} = -8.5, \quad x_2 = \frac{-15 + 19}{2 \cdot 2} = 1;
\)

Тогда:
\(
(x + 8.5)(x — 1) \leq 0, \quad x > -3;
\)

Область определения:
\(
-3 < x \leq 1;
\)

Ответ:
\(
D(x) = (-3; 1].
\)

4)
\(
f(x) = \sqrt{12x^2 — 4x^3 — 9x} — \sqrt{2 — |x|};
\)

Область определения:
\(
12x^2 — 4x^3 — 9x \geq 0, \quad 2 — |x| \geq 0;
\)

Перепишем:
\(
x(4x^2 — 12x + 9) \leq 0, \quad |x| \leq 2;
\)

\(
x(2x — 3)^2 \leq 0, \quad -2 \leq x \leq 2;
\)

Отсюда:
\(
-2 \leq x \leq 0, \quad x = \frac{3}{2};
\)

Ответ:
\(
D(x) = [-2; 0) \cup \left\{\frac{3}{2}\right\}.
\)

5)
\(
f(x) = \sqrt{\frac{7 — x}{4x^2 — 19x + 12}};
\)

Область определения:
\(
4x^2 — 19x + 12 > 0, \quad 7 — x \geq 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 19^2 — 4 \cdot 4 \cdot 12 = 361 — 192 = 169,
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{19 — 13}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}, \quad x_2 = \frac{19 + 13}{2 \cdot 4} = 4;
\)

Тогда:
\(
(x — \frac{3}{4})(x — 4) > 0, \quad x \leq 7;
\)

Область:
\(
x < \frac{3}{4}, \quad 4 < x \leq 7;
\)

Ответ:
\(
D(x) = (-\infty; \frac{3}{4}) \cup (4; 7].
\)

6)
\(
f(x) = \sqrt{|x — 1|(3x — 6)} + \frac{3}{x^2 + 4x — 21};
\)

Область определения:
\(
|x — 1|(3x — 6) \geq 0; \quad x \geq 2, \quad x = 1;
\)

Область определения дроби:
\(
x^2 + 4x — 21 \neq 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100,
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{-4 — 10}{2} = -7, \quad x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = 3;
\)

Ответ:
\(
D(x) = \{1\} \cup [2; 3) \cup (3; +\infty).
\)

1)

Рассмотрим функцию:

\(
f(x) = \sqrt{\frac{(x+3)(x-2)}{x}};
\)

Для нахождения области определения необходимо решить неравенство:

\(
\frac{(x+3)(x-2)}{x} \geq 0;
\)

Найдем нули числителя и знаменателя:

— Числитель: \( (x + 3)(x — 2) = 0 \) даёт \( x = -3 \) и \( x = 2 \).
— Знаменатель: \( x = 0 \).

Теперь определим интервалы для решения неравенства. Рассмотрим знаки на интервалах:

1. \( (-\infty, -3) \)
2. \( (-3, 0) \)
3. \( (0, 2) \)
4. \( (2, +\infty) \)

Проверяем знаки в каждом интервале:

— Для \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( \frac{(-)(-)}{-} < 0 \)
— Для \( -3 < x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( \frac{(+)(-)}{-} > 0 \)
— Для \( 0 < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \( \frac{(+)(-)}{+} < 0 \)
— Для \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( \frac{(+)(+)}{+} > 0 \)

Таким образом, область определения:

\(
-3 \leq x < 0, \quad x \geq 2;
\)

Ответ:

\(
D(x) = [-3; 0) \cup [2; +\infty);
\)

2)

Рассмотрим функцию:

\(
f(x) = \sqrt{\frac{x^2 — 6x + 9}{x^2 — 5x + 4}};
\)

Для нахождения области определения необходимо решить неравенство:

\(
\frac{x^2 — 6x + 9}{x^2 — 5x + 4} \geq 0;
\)

Дискриминант для знаменателя:

\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9,
\)

Корни знаменателя:

\(
x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;
\)

Теперь запишем дробь в виде:

\(
\frac{(x-3)^2}{(x-1)(x-4)} \geq 0;
\)

Определим интервалы для решения неравенства:

1. \( (-\infty, 1) \)
2. \( (1, 3) \)
3. \( (3, 4) \)
4. \( (4, +\infty) \)

Проверяем знаки в каждом интервале:

— Для \( x < 1 \): дробь положительна.
— Для \( 1 < x < 3 \): дробь отрицательна.
— Для \( 3 < x < 4 \): дробь положительна.
— Для \( x > 4 \): дробь положительна.

Таким образом, область определения:

\(
x < 1, \quad x > 4, \quad x = 3;
\)

Ответ:

\(
D(x) = (-\infty; 1) \cup (3) \cup (4; +\infty).
\)

3)

Рассмотрим функцию:

\(
f(x) = \sqrt{\frac{17 — 15x — 2x^2}{x + 3}};
\)

Область определения будет найдена из условий:

\(
17 — 15x — 2x^2 \geq 0, \quad x + 3 > 0;
\)

Решаем неравенство:

\(
2x^2 + 15x — 17 \leq 0;
\)

Дискриминант:

\(
D = (15)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-17) = 225 + 136 = 361,
\)

Корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{-15 — 19}{2 \cdot -2} = -8.5, \quad x_2 = \frac{-15 + 19}{2 \cdot -2} = 1;
\)

Теперь запишем неравенство в виде:

\(
(x + 8.5)(x — 1) \leq 0, \quad x > -3;
\)

Определяем интервалы для решения неравенства:

1. \( (-\infty, -8.5) \)
2. \( (-8.5, 1) \)
3. \( (1, +\infty) \)

Проверяем знаки в каждом интервале:

— Для \( x < -8.5 \): дробь положительна.
— Для \( -8.5 < x < 1 \): дробь отрицательна.
— Для \( x > 1 \): дробь положительна.

Таким образом, область определения:

\(
-3 < x \leq 1;
\)

Ответ:

\(
D(x) = (-3; 1].
\)

4)

Рассмотрим функцию:

\(
f(x) = \sqrt{12x^2 — 4x^3 — 9x} — \sqrt{2 — |x|};
\)

Для нахождения области определения необходимо решить два неравенства:

1.
\(
12x^2 — 4x^3 — 9x \geq 0;
\)
2.
\(
2 — |x| \geq 0;
\)

Начнем с первого неравенства. Перепишем его в удобной форме:

\(
x(4x^2 — 12x + 9) \geq 0;
\)

Теперь решим квадратное неравенство \(4x^2 — 12x + 9 \leq 0\). Найдем дискриминант:

\(
D = (-12)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 — 144 = 0;
\)

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть один корень:

\(
x_1 = \frac{12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}.
\)

Теперь определим знаки на интервалах. Мы знаем, что \(x(2x — 3)^2 \leq 0\), поэтому:

Область определения данного неравенства:

\(
x \leq 0, \quad x = \frac{3}{2};
\)

Теперь решим второе неравенство:

\(
|x| \leq 2;
\)

Это неравенство даёт:

\(
-2 \leq x \leq 2.
\)

Теперь объединяем обе области:

1. Из первого неравенства: \( -2 \leq x \leq 0, \quad x = \frac{3}{2} \).
2. Из второго неравенства: \( -2 \leq x \leq 2 \).

Итак, окончательная область определения:

\(
D(x) = (-2; 0] \cup \left\{\frac{3}{2}\right\}.
\)

5)

Рассмотрим функцию:

\(
f(x) = \sqrt{\frac{7 — x}{4x^2 — 19x + 12}};
\)

Область определения будет определяться двумя условиями:

1.
\(
4x^2 — 19x + 12 > 0;
\)
2.
\(
7 — x \geq 0.
\)

Начнем с первого неравенства. Найдем дискриминант:

\(
D = (-19)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 12 = 361 — 192 = 169.
\)

Теперь найдем корни:

\(
x_1 = \frac{19 — 13}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}, \quad x_2 = \frac{19 + 13}{2 \cdot 4} = 4.
\)

Теперь определим знаки на интервалах, используя корни:

— Для \(x < \frac{3}{4}\)
— Для \(x > 4\)

Таким образом, у нас есть:

\(
(x — \frac{3}{4})(x — 4) > 0.
\)

Теперь решим второе неравенство:

\(
7 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 7.
\)

Объединяем области:

1. Из первого неравенства: \( x < \frac{3}{4} \) или \( x > 4 \).
2. Из второго: \( x \leq 7 \).

Итак, окончательная область определения:

\(
D(x) = (-\infty; \frac{3}{4}) \cup (4; 7].
\)

6)

Рассмотрим функцию:

\(
f(x) = \sqrt{|x — 1|(3x — 6)} + \frac{3}{x^2 + 4x — 21};
\)

Область определения будет определяться условиями:

1.
\(
|x — 1|(3x — 6) \geq 0;
\)
2.
\(
x^2 + 4x — 21 \neq 0.
\)

Начнем с первого условия. Это выражение будет неотрицательным, когда оба множителя неотрицательны или оба отрицательны.

Решим неравенство \(3x — 6 \geq 0\):

\(
3x — 6 = 0 \Rightarrow x = 2.
\)

Теперь рассмотрим \( |x — 1| \):

— Если \( x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \)
— Если \( x — 1 < 0 \Rightarrow x < 1 \)

Таким образом, у нас есть два случая для решения первого неравенства.

Теперь решим второе неравенство:

Найдём дискриминант для уравнения \( x^2 + 4x — 21 = 0 \):

\(
D = (4)^2 — 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100.
\)

Корни:

\(
x_1 = \frac{-4 — 10}{2} = -7, \quad x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = 3.
\)

Таким образом, область определения дроби:

\( x^2 + 4x — 21 \neq 0; \quad x \neq -7, x \neq 3. \)

Теперь объединяем все области определения.

Окончательный ответ для области определения функции:

\(
D(x) = \{1\} \cup [2; 3) \cup (3; +\infty).
\)