ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.236 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \( y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x \)

2) \( y = \frac{1}{1 + x^2} \)

3) \( y = \frac{2x — 1}{x + 2} \)

4) \( y = x + \frac{1}{x} \)

5) \( y = \sqrt{x^2 + 2x + 2} \)

6) \( y = 5 — \sqrt{x^2 — 6x + 10} \)

1)
\(
y = -\frac{1}{3} x^2 + 2x;
\)

\(
y'(x) = -\frac{1}{3} \cdot 2x + 2 \geq 0;
\)

\(
2x — 6 \leq 0;
\)

\(
2x \leq 6;
\)

\(
x \leq 3;
\)

\(
y_{\max} = -3 + 6 = 3;
\)

Ответ:
\(
E(y) = (-\infty; 3];
\)

2)
\(
y = \frac{1}{1 + x^2};
\)

\(
y'(x) = -2x \cdot (1 + x^2)^{-2} \geq 0;
\)

\(
-2x \geq 0, \quad x \leq 0;
\)

\(
y_{\max} = \frac{1}{1 + 0} = 1;
\)

\(
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2} + 1} = 0;
\)

Ответ:
\(
E(y) = (0; 1];
\)

3)
\(
y = \frac{2x — 1}{x + 2};
\)

\(
y'(x) = \frac{2(x + 2) — (2x — 1)}{(x + 2)^2} \geq 0;
\)

\(
2x + 4 — 2x + 1 \geq 0;
\)

\(
5 \geq 0, \quad x \in \mathbb{R};
\)

\(
\lim_{x \to \infty} \frac{2x — 1}{x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 — \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = 2;
\)

Ответ:
\(
E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty);
\)

4)
\(
y = x + \frac{1}{x};
\)

\(
y'(x) = 1 — \frac{1}{x^2} \geq 0;
\)

\(
x^2 — 1 \geq 0;
\)

\(
(x + 1)(x — 1) \geq 0;
\)

\(
x \leq -1, \quad x \geq 1;
\)

\(
y_{\max} = -1 — 1 = -2;
\)

\(
y_{\min} = 1 + 1 = 2;
\)

Ответ:
\(
E(y) = (-\infty; -2] \cup [2; +\infty);
\)

5)
\(
y = \sqrt{x^2 + 2x + 2};
\)

\(
y'(x) = \frac{2x + 2}{2 \sqrt{x^2 + 2x + 2}} \geq 0;
\)

\(
2x + 2 \geq 0;
\)

\(
x \geq -1;
\)

\(
y_{\min} = \sqrt{1 — 2 + 2} = 1;
\)

Ответ:
\(
E(y) = [1; +\infty);
\)

6)
\(
y = 5 — \sqrt{x^2 — 6x + 10};
\)

Обозначим:
\(
g(x) = \sqrt{x^2 — 6x + 10};
\)

\(
g'(x) = \frac{2x — 6}{2 \sqrt{x^2 — 6x + 10}} \geq 0;
\)

\(
2x — 6 \geq 0;
\)

\(
x \geq 3;
\)

\(
y_{\min} = 5 — \sqrt{9 — 18 + 10} = 5 — 1 = 4;
\)

\(
y_{\max} = 5 — 1 = 4;
\)

Ответ:
\(
E(y) = (-\infty; 4];
\)

1)
\(
y = -\frac{1}{3} x^2 + 2x;
\)

Для нахождения области значений функции найдем производную:
\(
y'(x) = -\frac{1}{3} \cdot 2x + 2 = -\frac{2}{3}x + 2.
\)

Решим неравенство:
\(
-\frac{2}{3}x + 2 \geq 0.
\)

Переносим \(2\) на правую сторону:
\(
-\frac{2}{3}x \geq -2.
\)

Умножаем обе стороны на \(-1\) (не забываем поменять знак неравенства):
\(
\frac{2}{3}x \leq 2.
\)

Умножаем обе стороны на \(\frac{3}{2}\):
\(
x \leq 3.
\)

Теперь найдем максимальное значение функции. Подставим \(x = 3\):
\(
y_{\max} = -\frac{1}{3}(3)^2 + 2(3) = -3 + 6 = 3.
\)

Ответ:
\(
E(y) = (-\infty; 3].
\)

2)
\(
y = \frac{1}{1 + x^2};
\)

Найдём производную:
\(
y'(x) = -2x \cdot (1 + x^2)^{-2}.
\)

Решим неравенство:
\(
-2x \cdot (1 + x^2)^{-2} \geq 0.
\)

Так как \((1 + x^2)^{-2}\) всегда положительно, то неравенство сводится к:
\(
-2x \geq 0.
\)

Отсюда получаем:
\(
x \leq 0.
\)

Теперь найдем максимальное значение функции. Подставим \(x = 0\):
\(
y_{\max} = \frac{1}{1 + 0^2} = 1.
\)

Теперь найдем предел при \(x \to \infty\):
\(
\lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + x^2} = 0.
\)

Ответ:
\(
E(y) = (0; 1].
\)

3)
\(
y = \frac{2x — 1}{x + 2};
\)

Найдём производную:
\(
y'(x) = \frac{(2)(x + 2) — (2x — 1)(1)}{(x + 2)^2}.
\)

Упрощаем:
\(
y'(x) = \frac{2x + 4 — 2x + 1}{(x + 2)^2} = \frac{5}{(x + 2)^2}.
\)

Так как числитель всегда положителен, производная не равна нулю, и функция возрастает для всех \(x \in \mathbb{R}\).

Теперь найдем предел при \(x \to \infty\):
\(
\lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{2x — 1}{x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 — \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = 2.
\)

Ответ:
\(
E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty).
\)

4)

Рассмотрим функцию:

\(
y = x + \frac{1}{x};
\)

Для нахождения области значений функции найдем производную:

\(
y'(x) = 1 — \frac{1}{x^2} \geq 0;
\)

Решим неравенство:

\(
1 — \frac{1}{x^2} \geq 0.
\)

Переносим \(\frac{1}{x^2}\) на правую сторону:

\(
1 \geq \frac{1}{x^2}.
\)

Умножаем обе стороны на \(x^2\) (при \(x \neq 0\)):

\(
x^2 \geq 1.
\)

Теперь решим это неравенство:

\(
(x + 1)(x — 1) \geq 0.
\)

Таким образом, получаем два интервала:

\(
x \leq -1, \quad x \geq 1.
\)

Теперь найдем максимальное и минимальное значения функции. Подставим \(x = -1\):

\(
y_{\max} = -1 + \frac{1}{-1} = -1 — 1 = -2;
\)

Подставим \(x = 1\):

\(
y_{\min} = 1 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2.
\)

Ответ:

\(
E(y) = (-\infty; -2] \cup [2; +\infty);
\)

5)

Рассмотрим функцию:

\(
y = \sqrt{x^2 + 2x + 2};
\)

Найдём производную:

\(
y'(x) = \frac{2x + 2}{2 \sqrt{x^2 + 2x + 2}} \geq 0;
\)

Решим неравенство:

\(
2x + 2 \geq 0;
\)

Отсюда получаем:

\(
x \geq -1.
\)

Теперь найдем минимальное значение функции. Подставим \(x = -1\):

\(
y_{\min} = \sqrt{(-1)^2 + 2(-1) + 2} = \sqrt{1 — 2 + 2} = \sqrt{1} = 1.
\)

Ответ:

\(
E(y) = [1; +\infty);
\)

6)

Рассмотрим функцию:

\(
y = 5 — \sqrt{x^2 — 6x + 10};
\)

Обозначим:

\(
g(x) = \sqrt{x^2 — 6x + 10};
\)

Найдём производную:

\(
g'(x) = \frac{2x — 6}{2 \sqrt{x^2 — 6x + 10}} \geq 0;
\)

Решим неравенство:

\(
2x — 6 \geq 0;
\)

Отсюда получаем:

\(
x \geq 3.
\)

Теперь найдем минимальное значение функции. Подставим \(x = 3\):

\(
y_{\min} = 5 — \sqrt{(3)^2 — 6(3) + 10} = 5 — \sqrt{9 — 18 + 10} = 5 — \sqrt{1} = 5 — 1 = 4.
\)

Максимальное значение функции будет равно минимальному значению \(y_{\max} = y_{\min} = 4.\)

Ответ:

\(
E(y) = (-\infty; 4];
\)