ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что если натуральное число \( n > 1 \) не делится нацело ни на \( 2 \), ни на \( 3 \), то \( n^2 — 1 \) кратно \( 24 \).

Натуральное число \( n > 1 \) не делится нацело ни на 2, ни на 3, доказать, что \( n^2 — 1 \) кратно 24:

1) Одно из чисел \( (n — 1), n, (n + 1) \) кратно трём, а два числа кратны двум, следовательно их произведение кратно двадцати четырём;

2) Число \( n \) не кратно 2 или 3, значит: \( (n — 1)(n + 1) : 24, \ (n^2 — 1) : 24 \);

Что и требовалось доказать.

Дано: натуральное число \( n > 1 \) не делится на 2 и на 3.
Требуется доказать, что \( n^2 — 1 \) делится на 24.

Рассмотрим выражение \( n^2 — 1 \):

\(
n^2 — 1 = (n — 1)(n + 1)
\)

Рассмотрим делимость на 2 и на 3 отдельно.

1. Делимость на 3:

Числа \( n-1, n, n+1 \) идут подряд, значит одно из них обязательно делится на 3. Но по условию \( n \) не делится на 3, значит либо \( n-1 \), либо \( n+1 \) делится на 3. Следовательно,

\(
(n-1)(n+1) \) делится на 3

2. Делимость на 4:

Рассмотрим делимость на 2. Из трёх последовательных чисел \( n-1, n, n+1 \) хотя бы одно делится на 2. Но \( n \) не делится на 2, значит оба числа \( n-1 \) и \( n+1 \) нечётные, а \( n \) чётное быть не может. Значит, \( n \) нечётное, следовательно, \( n-1 \) и \( n+1 \) — чётные числа, причём они отличаются на 2, то есть одно из них делится на 4, а другое — на 2. Таким образом,

\(
(n-1)(n+1) \) делится на \( 2 \times 4 = 8\)

3. Совместная делимость:

Мы показали, что \( (n-1)(n+1) \) делится на 3 и на 8. Числа 3 и 8 взаимно просты, значит произведение делится на их произведение, то есть на 24:

\(
(n-1)(n+1) \) делится на 24

Значит,

\(
n^2 — 1 \) делится на 24

Что и требовалось доказать.