ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.240 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Исследуйте на чётность функцию:

1)
\(
y = \frac{|2x — 1| — |2x + 1|}{x^2 — 4};
\)

2)
\(
y = \frac{x^5}{\sqrt{2 — x} — \sqrt{2 + x}};
\)

3)
\(
y = \frac{1}{(4x — 2)^5} + \frac{1}{(4x + 2)^5};
\)

4)
\(
y = \frac{2x + 1}{x^2 — 3x + 1} — \frac{2x — 1}{x^2 + 3x + 1}.
\)

1)
\(
y = \frac{|2x — 1| — |2x + 1|}{x^2 — 4};
\)

Область определения:
\(
x^2 — 4 \neq 0;
x^2 \neq 4;
x \neq \pm 2;
\)

Исследование на чётность:
\(
y(-x) = \frac{|2(-x) — 1| — |2(-x) + 1|}{(-x)^2 — 4};
\)

\(
y(-x) = \frac{|1 + 2x| — |1 — 2x|}{x^2 — 4} = -y(x);
\)

Ответ: нечётная.

2)
\(
y = \frac{x^5}{\sqrt{2 — x} — \sqrt{2 + x}};
\)

Область определения:
\(
\sqrt{2 — x} — \sqrt{2 + x} \neq 0;
\)

\(
2 — x \neq 2 + x, \quad x \neq 0;
\)

\(
2 — x \geq 0, \quad x \leq 2;
\)

\(
2 + x \geq 0, \quad x \geq -2;
\)

Исследование на чётность:
\(
y(-x) = \frac{(-x)^5}{\sqrt{2 — (-x)} — \sqrt{2 + (-x)}} = \frac{-x^5}{\sqrt{2 + x} — \sqrt{2 — x}};
\)

\(
y(-x) = \frac{-x^5}{-(\sqrt{2 — x} — \sqrt{2 + x})} = \frac{x^5}{\sqrt{2 — x} — \sqrt{2 + x}} = y(x);
\)

Ответ: чётная.

3)
\(
y = \frac{1}{(4x — 2)^5} + \frac{1}{(4x + 2)^5};
\)

Область определения:
\(
4x — 2 \neq 0, \quad 4x + 2 \neq 0;
\)
\(
4x \neq 2, \quad 4x \neq -2;
\)
\(
x \neq 0.5, \quad x \neq -0.5;
\)

Исследование на чётность:
\(
y(-x) = \frac{1}{(4(-x) — 2)^5} + \frac{1}{(4(-x) + 2)^5};
\)

\(
y(-x) = \frac{1}{(-4x — 2)^5} + \frac{1}{(-4x + 2)^5} = — \frac{1}{(4x + 2)^5} — \frac{1}{(4x — 2)^5} = -y(x);
\)

Ответ: нечётная.

4)
\(
y = \frac{2x + 1}{x^2 — 3x + 1} — \frac{2x — 1}{x^2 + 3x + 1};
\)

Область определения:
\(
x^2 — 3x + 1 \neq 0, \quad x^2 + 3x + 1 \neq 0;
\)

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 — 4 = 5,
\)

тогда:
\(
x_1 \neq \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 \neq \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2};
\)

Исследование на чётность:
\(
y(-x) = \frac{2(-x) + 1}{(-x)^2 — 3(-x) + 1} — \frac{2(-x) — 1}{(-x)^2 + 3(-x) + 1};
\)

\(
y(-x) = \frac{-2x + 1}{x^2 + 3x + 1} — \frac{-2x — 1}{x^2 — 3x + 1} = \frac{-(2x — 1)}{x^2 + 3x + 1} — \frac{-(2x + 1)}{x^2 — 3x + 1} = y(x);
\)

Ответ: чётная.

1) Исследуем функцию:
\(
y = \frac{|2x — 1| — |2x + 1|}{x^2 — 4};
\)

Область определения:

Для определения области, где функция определена, необходимо, чтобы знаменатель не равнялся нулю:
\(
x^2 — 4 \neq 0.
\)
Это уравнение можно решить:
\(
x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq \pm 2.
\)
Таким образом, область определения:
\(
x \neq -2, \quad x \neq 2.
\)

Исследование на чётность:

Теперь проверим, является ли функция нечётной или чётной. Для этого найдем \( y(-x) \):
\(
y(-x) = \frac{|2(-x) — 1| — |2(-x) + 1|}{(-x)^2 — 4} = \frac{| -2x — 1 | — | -2x + 1 |}{x^2 — 4}.
\)

Упрощаем:
\(
y(-x) = \frac{|1 + 2x| — |1 — 2x|}{x^2 — 4}.
\)

Теперь сравним \( y(-x) \) с \( -y(x) \):
\(
-y(x) = -\left(\frac{|2x — 1| — |2x + 1|}{x^2 — 4}\right).
\)
Мы видим, что:
\(
y(-x) = -y(x).
\)
Таким образом, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

2) Исследуем функцию:
\(
y = \frac{x^5}{\sqrt{2 — x} — \sqrt{2 + x}};
\)

Область определения:

Для области определения необходимо, чтобы знаменатель не равнялся нулю:
\(
\sqrt{2 — x} — \sqrt{2 + x} \neq 0.
\)
Это приводит к:
\(
\sqrt{2 — x} \neq \sqrt{2 + x} \Rightarrow 2 — x \neq 2 + x \Rightarrow -x \neq x \Rightarrow x \neq 0.
\)

Также должны выполняться условия для корней:
\(
2 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2,
\)
\(
2 + x \geq 0 \Rightarrow x \geq -2.
\)
Таким образом, область определения:
\(
-2 \leq x < 0 \quad или \quad 0 < x \leq 2.
\)

Исследование на чётность:

Теперь найдем \( y(-x) \):
\(
y(-x) = \frac{(-x)^5}{\sqrt{2 — (-x)} — \sqrt{2 + (-x)}} = \frac{-x^5}{\sqrt{2 + x} — \sqrt{2 — x}}.
\)
Упрощаем:
\(
y(-x) = \frac{-x^5}{-(\sqrt{2 — x} — \sqrt{2 + x})} = \frac{x^5}{\sqrt{2 — x} — \sqrt{2 + x}} = y(x).
\)
Таким образом, функция является чётной.

Ответ: чётная.

3) Исследуем функцию:
\(
y = \frac{1}{(4x — 2)^5} + \frac{1}{(4x + 2)^5};
\)

Область определения:

Для определения области, где функция определена, необходимо, чтобы каждый из знаменателей не равнялся нулю:
\(
4x — 2 \neq 0, \quad 4x + 2 \neq 0.
\)
Решаем каждое из уравнений:
\(
4x \neq 2 \Rightarrow x \neq 0.5,
\)
\(
4x \neq -2 \Rightarrow x \neq -0.5.
\)
Таким образом, область определения:
\(
x \neq 0.5, \quad x \neq -0.5.
\)

Исследование на чётность:

Теперь проверим, является ли функция нечётной или чётной. Для этого найдем \( y(-x) \):
\(
y(-x) = \frac{1}{(4(-x) — 2)^5} + \frac{1}{(4(-x) + 2)^5}.
\)

Упрощаем:
\(
y(-x) = \frac{1}{(-4x — 2)^5} + \frac{1}{(-4x + 2)^5}.
\)

Теперь можем выразить это как:
\(
y(-x) = -\frac{1}{(4x + 2)^5} — \frac{1}{(4x — 2)^5} = -y(x).
\)

Таким образом, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

4) Исследуем функцию:
\(
y = \frac{2x + 1}{x^2 — 3x + 1} — \frac{2x — 1}{x^2 + 3x + 1};
\)

Область определения:

Для определения области, где функция определена, необходимо, чтобы оба знаменателя не равнялись нулю:
\(
x^2 — 3x + 1 \neq 0, \quad x^2 + 3x + 1 \neq 0.
\)

Сначала находим дискриминанты:
\(
D_1 = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 — 4 = 5,
\)
\(
D_2 = (3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 — 4 = 5.
\)

Решаем квадратные уравнения:
\(
x_1 \neq \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 \neq \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}.
\)

Исследование на чётность:

Теперь найдем \( y(-x) \):
\(
y(-x) = \frac{2(-x) + 1}{(-x)^2 — 3(-x) + 1} — \frac{2(-x) — 1}{(-x)^2 + 3(-x) + 1}.
\)

Упрощаем:
\(
y(-x) = \frac{-2x + 1}{x^2 + 3x + 1} — \frac{-2x — 1}{x^2 — 3x + 1}.
\)

Это можно записать как:
\(
y(-x) = -\frac{(2x — 1)}{x^2 + 3x + 1} + \frac{(2x + 1)}{x^2 — 3x + 1}.
\)

Таким образом, мы видим, что:
\(
y(-x) = y(x).
\)

Ответ: чётная.