ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.244 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Парабола \( y = ax^2 + bx + c \) имеет вершину в точке \( M(1; -1) \) и проходит через точку \( K(-2; 3) \). Найдите значения коэффициентов \( a \), \( b \) и \( c \).

Дана парабола:
\( y = ax^2 + bx + c; \)

1) Вершина лежит в точке \( M(1; -1) \):
\( x_0 = -\frac{b}{2a} = 1, \quad b = -2a; \)
\( y_0 = a + b + c = -1; \)
\( a — 2a + c = -1, \quad c = a — 1; \)

2) Проходит через точку \( K(-2; 3) \):
\( y(-2) = 4a — 2b + c = 3; \)
\( 4a — 2 \cdot (-2a) + (a — 1) = 3; \)
\( 4a + 4a + a — 1 = 3; \)
\( 9a = 4, \quad a = \frac{4}{9}; \)
\( b = -2 \cdot \frac{4}{9} = -\frac{8}{9}; \)
\( c = \frac{4}{9} — 1 = -\frac{5}{9}; \)

Ответ:
\( a = \frac{4}{9}; \quad b = -\frac{8}{9}; \quad c = -\frac{5}{9}. \)

Дана парабола:
\( y = ax^2 + bx + c; \)

1) Вершина лежит в точке \( M(1; -1) \). Для нахождения коэффициентов \( a \), \( b \) и \( c \) воспользуемся свойствами вершины параболы.

Абсцисса вершины \( x_0 \) рассчитывается по формуле:
\(
x_0 = -\frac{b}{2a} = 1.
\)
Из этого уравнения можно выразить \( b \):
\(
-\frac{b}{2a} = 1 \Rightarrow b = -2a.
\)

Теперь подставим это значение в уравнение для ординаты вершины \( y_0 \):
\(
y_0 = a + b + c = -1.
\)
Подставляем \( b = -2a \):
\(
a — 2a + c = -1.
\)
Упрощаем:
\(
-a + c = -1.
\)
Таким образом, мы можем выразить \( c \):
\(
c = a — 1.
\)

2) Парабола проходит через точку \( K(-2; 3) \). Подставим координаты точки \( K \) в уравнение параболы:
\(
y(-2) = 4a — 2b + c = 3.
\)
Теперь подставим значение \( b = -2a \) и \( c = a — 1 \):
\(
4a — 2 \cdot (-2a) + (a — 1) = 3.
\)
Упрощаем это уравнение:
\(
4a + 4a + a — 1 = 3.
\)
Соберём все члены с \( a \):
\(
9a — 1 = 3.
\)
Теперь добавим 1 к обеим сторонам:
\(
9a = 4.
\)
Разделим обе стороны на 9:
\(
a = \frac{4}{9}.
\)

Теперь подставим найденное значение \( a \) обратно, чтобы найти \( b \) и \( c \):
\(
b = -2 \cdot \frac{4}{9} = -\frac{8}{9}.
\)
И для \( c \):
\(
c = \frac{4}{9} — 1 = -\frac{5}{9}.
\)

Ответ:
\(
a = \frac{4}{9}; \quad b = -\frac{8}{9}; \quad c = -\frac{5}{9}.
\)