ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.245 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наименьшее значение функции \( y = 1.5x^2 — 6x + 1 \) на следующих промежутках:

1) \( [-4; 1] \);
2) \( [-3; 1] \);
3) \( [4; 6] \).

Найти наименьшее значение:

\( y = 1,5x^2 — 6x + 1; \quad x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1,5} = \frac{6}{3} = 2; \)

1) На отрезке \( [-4; 1] \):
\( y(-4) = 24 + 24 + 1 = 49; \)
\( y(1) = 1,5 — 6 + 1 = -3,5; \)
Ответ: \(-3,5\).

2) На отрезке \( [-3; 1] \):
\( y(-3) = 13,5 + 18 + 1 = 32,5; \)
\( y(1) = 1,5 — 6 + 1 = -3,5; \)
Ответ: \(-3,5\).

3) На отрезке \( [4; 6] \):
\( y(4) = 24 — 24 + 1 = 1; \)
\( y(6) = 54 — 36 + 1 = 19; \)
Ответ: \(1\).

Мы ищем наименьшее значение функции

\(
y = 1,5x^2 — 6x + 1
\)

на заданных отрезках. Эта функция является параболой, направленной вверх, так как коэффициент при \(x^2\) положителен. Находим координату вершины параболы, которая даёт нам значение \(x_0\):

\(
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1,5} = \frac{6}{3} = 2
\)

Теперь проверим значение функции на каждом из отрезков.

1) На отрезке \( [-4; 1] \):

— Вычисляем значение функции в точке \(x = -4\):

\(
y(-4) = 1,5(-4)^2 — 6(-4) + 1 = 1,5 \cdot 16 + 24 + 1 = 24 + 24 + 1 = 49
\)

— Вычисляем значение функции в точке \(x = 1\):

\(
y(1) = 1,5(1)^2 — 6(1) + 1 = 1,5 — 6 + 1 = -3,5
\)

— Поскольку \(x_0 = 2\) не входит в отрезок \( [-4; 1] \), сравниваем только полученные значения:

Ответ: наименьшее значение на отрезке \( [-4; 1] \) равно \(-3,5\).

2) На отрезке \( [-3; 1] \):

— Вычисляем значение функции в точке \(x = -3\):

\(
y(-3) = 1,5(-3)^2 — 6(-3) + 1 = 1,5 \cdot 9 + 18 + 1 = 13,5 + 18 + 1 = 32,5
\)

— Вычисляем значение функции в точке \(x = 1\):

\(
y(1) = 1,5(1)^2 — 6(1) + 1 = 1,5 — 6 + 1 = -3,5
\)

— Поскольку \(x_0 = 2\) не входит в отрезок \( [-3; 1] \), сравниваем только полученные значения:

Ответ: наименьшее значение на отрезке \( [-3; 1] \) равно \(-3,5\).

3) На отрезке \( [4; 6] \):

— Вычисляем значение функции в точке \(x = 4\):

\(
y(4) = 1,5(4)^2 — 6(4) + 1 = 1,5 \cdot 16 — 24 + 1 = 24 — 24 + 1 = 1
\)

— Вычисляем значение функции в точке \(x = 6\):

\(
y(6) = 1,5(6)^2 — 6(6) + 1 = 1,5 \cdot 36 — 36 + 1 = 54 — 36 + 1 = 19
\)

— Поскольку \(x_0 = 2\) не входит в отрезок \( [4; 6] \), сравниваем только полученные значения:

Ответ: наименьшее значение на отрезке \( [4; 6] \) равно \(1\).