ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.249 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

\(
y = \frac{1}{x^2 — 4x + 10}.
\)

Найти наибольшее и наименьшее значения:
\(
y = \frac{1}{x^2 — 4x + 10};
\)

1) Промежуток возрастания:
\(
y'(x) = — (2x — 4) \cdot (x^2 — 4x + 10)^{-2};
\)
\(
y'(x) = \frac{4 — 2x}{(x^2 — 4x + 10)^2} \geq 0;
\)
\(
4 — 2x \geq 0;
\)
\(
2x \leq 4;
\)
\(
x \leq 2;
\)

2) Значения функции:
\(
y_{\max} = y(2) = \frac{1}{4 — 8 + 10} = \frac{1}{6};
\)
\(
\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^2 — 4x + 10} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^2 \left(1 — \frac{4}{x} + \frac{10}{x^2}\right)} = 0;
\)

Ответ:
\(
y_{\max} = \frac{1}{6}, \quad y_{\min} \text{ — нет}.
\)

Найти наибольшее и наименьшее значения:
\(
y = \frac{1}{x^2 — 4x + 10};
\)

1) Промежуток возрастания:
Для нахождения промежутка возрастания найдем производную функции:
\(
y'(x) = — (2x — 4) \cdot (x^2 — 4x + 10)^{-2};
\)
Упрощаем производную:
\(
y'(x) = \frac{4 — 2x}{(x^2 — 4x + 10)^2} \geq 0;
\)
Для того чтобы функция возрастала, необходимо, чтобы числитель был неотрицательным:
\(
4 — 2x \geq 0;
\)
Решаем неравенство:
\(
2x \leq 4;
\)
\(
x \leq 2;
\)

Таким образом, функция возрастает на интервале \( (-\infty, 2] \).

2) Значения функции:
Теперь найдем значение функции в точке, где она достигает максимума:
\(
y_{\max} = y(2) = \frac{1}{4 — 8 + 10} = \frac{1}{6};
\)
Теперь определим поведение функции при \( x \to \pm \infty \):
\(
\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^2 — 4x + 10} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^2 \left(1 — \frac{4}{x} + \frac{10}{x^2}\right)} = 0;
\)

Таким образом, мы видим, что функция стремится к нулю при \( x \to \pm \infty \).

Ответ:
\(
y_{\max} = \frac{1}{6}, \quad y_{\min} \text{ — нет}.
\)