ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что не существует такого натурального числа \( p \), для которого числа \( p+5 \) и \( p+10 \) являются простыми:

Доказать, что нет числа p:
p + 5 — простое число;
p + 10 — простое число;

1) Число p + 5 является нечетным:
p — четное число;

2) Число p + 10 является нечетным:
p — нечетное число;

Что и требовалось доказать.

Доказать, что нет числа p, для которого одновременно выполняются условия:
p + 5 — простое число;
p + 10 — простое число.

Рассмотрим подробнее. Пусть существует такое число p.

Рассмотрим четность чисел p + 5 и p + 10.

Число p + 5 — простое.
Простое число, отличное от 2, всегда нечетное.
Значит, p + 5 нечетное.

Нечетное число можно получить, если к четному числу прибавить нечетное, или к нечетному — четное.
Пятерка — нечетное число, значит, p должно быть четным, чтобы сумма p + 5 была нечетной.

То есть
p — четное число.

Теперь рассмотрим число p + 10.
Оно также должно быть простым.
Аналогично, простое число, отличное от 2, нечетное.

Значит, p + 10 нечетное.

Но 10 — четное число, поэтому, чтобы сумма p + 10 была нечетной, p должно быть нечетным.

То есть
p — нечетное число.

Мы пришли к противоречию:
p должно быть одновременно четным и нечетным.

Следовательно, не существует такого числа p, при котором оба числа p + 5 и p + 10 были бы простыми.

Что и требовалось доказать.