ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.250 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

\(
y = \frac{2}{x^2 — 6x + 11}.
\)

Найти наибольшее и наименьшее значения:
\(
y = \frac{2}{x^2 — 6x + 11};
\)

1) Промежуток возрастания:
\(
y'(x) = -2 \cdot (2x — 6) \cdot (x^2 — 6x + 11)^{-2};
\)
\(
y'(x) = \frac{12 — 4x}{(x^2 — 6x + 11)^2} \geq 0;
\)
\(
12 — 4x \geq 0;
\)
\(
4x \leq 12;
\)
\(
x \leq 3;
\)

2) Значения функции:
\(
y_{\max} = y(3) = \frac{2}{9 — 18 + 11} = \frac{2}{2} = 1;
\)
\(
\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2}{x^2 — 6x + 11} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2}{x^2 \left(1 — \frac{6}{x} + \frac{11}{x^2}\right)} = 0;
\)

Ответ:
\(
y_{\max} = 1, \quad y_{\min} \text{ — нет}.
\)

Найти наибольшее и наименьшее значения:
\(
y = \frac{2}{x^2 — 6x + 11};
\)

1) Промежуток возрастания:
Для нахождения промежутка возрастания найдем производную функции:
\(
y'(x) = -2 \cdot (2x — 6) \cdot (x^2 — 6x + 11)^{-2};
\)
Упрощаем производную:
\(
y'(x) = \frac{12 — 4x}{(x^2 — 6x + 11)^2} \geq 0;
\)
Для того чтобы функция возрастала, необходимо, чтобы числитель был неотрицательным:
\(
12 — 4x \geq 0;
\)
Решаем неравенство:
\(
4x \leq 12;
\)
\(
x \leq 3;
\)

Таким образом, функция возрастает на интервале \( (-\infty, 3] \).

2) Значения функции:
Теперь найдем значение функции в точке, где она достигает максимума:
\(
y_{\max} = y(3) = \frac{2}{3^2 — 6 \cdot 3 + 11} = \frac{2}{9 — 18 + 11} = \frac{2}{2} = 1;
\)
Теперь определим поведение функции при \( x \to \pm \infty \):
\(
\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2}{x^2 — 6x + 11} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2}{x^2 \left(1 — \frac{6}{x} + \frac{11}{x^2}\right)} = 0;
\)

Таким образом, наибольшее значение функции равно \( y_{\max} = 1 \), а наименьшего значения нет, так как функция стремится к нулю, но никогда его не достигает.

Ответ:
\(
y_{\max} = 1, \quad y_{\min} \text{ — нет}.
\)