ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.251 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите:

1) \(\max_{\mathbb{R}} \frac{1}{x^2 + 2};\)

2) \(\min_{M = (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)} \frac{x^2}{\sqrt{x^2 — 1}}.\)

1)
\(
\max_{\mathbb{R}} \frac{1}{x^2 + 2};
\)
\(
y'(x) = -2x \cdot (x^2 + 2)^{-2};
\)
\(
y'(x) = \frac{-2x}{(x^2 + 2)^2} \geq 0;
\)
\(
-2x \geq 0, \quad x \leq 0;
\)
\(
y(0) = \frac{1}{0^2 + 2} = \frac{1}{2};
\)
Ответ: \(\frac{1}{2}\).

2)
\(
\min_{M} \frac{x^2}{\sqrt{x^2 — 1}}, \quad \text{где } M = (-\infty; -1) \cup (1; +\infty);
\)
\(
y'(x) = \frac{2x \sqrt{x^2 — 1} — x^2 \cdot \frac{2x}{2 \sqrt{x^2 — 1}}}{(\sqrt{x^2 — 1})^2} \geq 0;
\)
\(
y'(x) = \frac{2x(x^2 — 1) — x^3}{\sqrt{x^2 — 1}} : (x^2 — 1) \geq 0;
\)
\(
2x^3 — 2x — x^3 \geq 0;
\)
\(
x^3 — 2x \geq 0;
\)
\(
x(x^2 — 2) \geq 0;
\)
\(
(x + 2)x(x — 2) \geq 0;
\)
\(
-\sqrt{2} \leq x \leq 0, \quad x \geq \sqrt{2};
\)
С учётом области определения:
\(
-\sqrt{2} \leq x \leq -1, \quad x \geq \sqrt{2};
\)
\(
y(\pm \sqrt{2}) = \frac{2}{\sqrt{(\pm \sqrt{2})^2 — 1}} = \frac{2}{\sqrt{2 — 1}} = \frac{2}{1} = 2;
\)

Ответ: 2.

Найти значение:

1)
\(
\max_{\mathbb{R}} \frac{1}{x^2 + 2};
\)
Для нахождения максимума функции найдем её производную:
\(
y'(x) = -2x \cdot (x^2 + 2)^{-2};
\)
Упрощаем производную:
\(
y'(x) = \frac{-2x}{(x^2 + 2)^2} \geq 0;
\)
Для того чтобы функция была неотрицательной, необходимо, чтобы числитель был неотрицательным:
\(
-2x \geq 0 — x \leq 0;
\)
Теперь находим значение функции в точке \( x = 0 \):
\(
y(0) = \frac{1}{0^2 + 2} = \frac{1}{2};
\)
Ответ: \(\frac{1}{2}\).

2)
\(
\min_{M} \frac{x^2}{\sqrt{x^2 — 1}}, \quad \text{где } M = (-\infty; -1) \cup (1; +\infty);
\)
Для нахождения минимума также найдем производную функции:
\(
y'(x) = \frac{2x \sqrt{x^2 — 1} — x^2 \cdot \frac{2x}{2 \sqrt{x^2 — 1}}}{(\sqrt{x^2 — 1})^2} \geq 0;
\)
Упрощаем производную:
\(
y'(x) = \frac{2x(x^2 — 1) — x^3}{\sqrt{x^2 — 1}} : (x^2 — 1) \geq 0;
\)
Далее упрощаем:
\(
2x^3 — 2x — x^3 \geq 0;
\)
\(
x^3 — 2x \geq 0;
\)
Факторизуем:
\(
x(x^2 — 2) \geq 0;
\)
Находим корни:
\(
(x + 2)x(x — 2) \geq 0;
\)
Решаем неравенство:
\(
-\sqrt{2} \leq x \leq 0, \quad x \geq \sqrt{2};
\)
С учётом области определения:
\(
-\sqrt{2} \leq x \leq -1, \quad x \geq \sqrt{2};
\)
Теперь найдем значения функции в границах:
\(
y(\pm \sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2}{\sqrt{(\sqrt{2})^2 — 1}} = \frac{2}{\sqrt{2 — 1}} = \frac{2}{1} = 2;
\)

Ответ: \(2\).