ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.252 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите:

1) \(\min_{\mathbb{R}} \frac{1}{-x^2 + 2x — 3};\)

2) \(\max_{M = [1; 2]} \left(\sqrt{2 — x} + \sqrt{x + 1}\right).\)

Найти значение:

1)
\(
\min_{\mathbb{R}} \frac{1}{-x^2 + 2x — 3};
\)
\(
y'(x) = -(-2x + 2) \cdot (-x^2 + 2x — 3)^{-2};
\)
\(
y'(x) = \frac{2x — 2}{(-x^2 + 2x — 3)^2} \geq 0;
\)
\(
2x — 2 \geq 0, \quad x \geq 1;
\)
\(
y(1) = \frac{1}{-1 + 2 — 3} = -\frac{1}{2};
\)
Ответ: \(-\frac{1}{2}\).

2)
\(
\max_{M} \left(\sqrt{2 — x} + \sqrt{x + 1}\right), \quad \text{где } M = [-1; 2];
\)
\(
y'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{2 — x}} + \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} \geq 0;
\)
\(
\sqrt{2 — x} — \sqrt{x + 1} \geq 0;
\)
\(
\sqrt{2 — x} \geq \sqrt{x + 1};
\)
\(
2 — x \geq x + 1;
\)
\(
2x \leq 1, \quad x \leq \frac{1}{2};
\)
\(
y\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{2 — \frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2} + 1} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{6};
\)

Ответ: \(\sqrt{6}\).

Найти значение:

1)
\(
\min_{\mathbb{R}} \frac{1}{-x^2 + 2x — 3};
\)
Для нахождения минимума функции найдем её производную:
\(
y'(x) = -(-2x + 2) \cdot (-x^2 + 2x — 3)^{-2};
\)
Упрощаем производную:
\(
y'(x) = \frac{2x — 2}{(-x^2 + 2x — 3)^2} \geq 0;
\)
Теперь определим, при каких значениях \( x \) производная неотрицательна:
\(
2x — 2 \geq 0 — x \geq 1;
\)
Теперь найдем значение функции в точке \( x = 1 \):
\(
y(1) = \frac{1}{-1 + 2 — 3} = -\frac{1}{2};
\)
Ответ: \(-\frac{1}{2}\).

2)
\(
\max_{M} \left(\sqrt{2 — x} + \sqrt{x + 1}\right), \quad \text{где } M = [-1; 2];
\)
Для нахождения максимума функции также найдем её производную:
\(
y'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{2 — x}} + \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} \geq 0;
\)
Теперь упростим неравенство:
\(
\sqrt{2 — x} — \sqrt{x + 1} \geq 0;
\)
Это неравенство эквивалентно:
\(
\sqrt{2 — x} \geq \sqrt{x + 1};
\)
Квадратируем обе стороны:
\(
2 — x \geq x + 1;
\)
Упрощаем:
\(
2 — 1 \geq 2x — 1 \geq 2x — x \leq \frac{1}{2};
\)
Таким образом, мы нашли, что функция возрастает на интервале \( (-1; \frac{1}{2}] \).

Теперь найдем значение функции в точке \( x = \frac{1}{2} \):
\(
y\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{2 — \frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2} + 1} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{6};
\)

Ответ: \(\sqrt{6}\).