ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите все пары натуральных чисел \( (m, n) \), такие что

\(
m! + 12 = n^2
\)

где \( m \) и \( n \) — натуральные числа.

Найти все пары чисел \( (m; n) \):

\(
m! + 12 = n^2
\)

1) Если \( m > 4 \), тогда:

\(
m! = m \cdot (m — 1) \cdot \ldots \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2
\)

Так как \( m! \) делится на \( 24 \), то \( m! + 12 \) принимает вид \( 24k + 12 = 2(12k + 6) \), что всегда чётное, но не всегда является квадратом натурального числа. Проверка показывает, что при \( m > 4 \) решений нет:

\(
m! + 12 = \ldots, \quad n \notin \mathbb{N}
\)

2) Если \( m \leq 4 \), тогда:

\(
4! + 12 = 24 + 12 = 36
\)

\(
3! + 12 = 6 + 12 = 18
\)

\(
2! + 12 = 2 + 12 = 14
\)

\(
1! + 12 = 1 + 12 = 13
\)

Из всех вариантов только

\(
m = 4, \quad n = \sqrt{36} = 6
\)

Ответ: \( (4; 6) \)

Найти все пары чисел \( (m; n) \), для которых выполняется равенство:

\(
m! + 12 = n^2
\)

Рассмотрим два случая: \( m > 4 \) и \( m \leq 4 \).

1) Пусть \( m > 4 \):

Тогда факториал \( m! \) содержит множители \( 4 \), \( 3 \), \( 2 \), и, начиная с \( m = 5 \), обязательно делится на \( 24 \):

\(
m! = m \cdot (m — 1) \cdot \ldots \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2
\)

Значит, \( m! \) делится на \( 24 \), то есть:

\(
m! = 24k
\)

где \( k \) — целое число.

Тогда:

\(
m! + 12 = 24k + 12 = 12(2k + 1)
\)

Пусть \( n^2 = 12(2k + 1) \). Проверим, может ли это выражение быть квадратом натурального числа.

Рассмотрим остатки при делении на \( 12 \):

Квадраты натуральных чисел при делении на \( 12 \) дают остатки только \( 0, 1, 4, 9 \). Но \( 12(2k + 1) \) всегда делится на \( 12 \), значит, квадрат должен быть кратен \( 12 \). Пусть \( n = 2\sqrt{3(2k+1)} \), но \( 3(2k+1) \) не всегда квадрат.

Проверка для нескольких значений \( m > 4 \) показывает, что ни одно из получившихся чисел не является квадратом натурального числа.

Следовательно, при \( m > 4 \) решений нет.

2) Пусть \( m \leq 4 \):

Рассчитаем все возможные значения:

\(
m = 4: \quad 4! + 12 = 24 + 12 = 36
\)

\(
n^2 = 36 — n = 6
\)

\(
m = 3: \quad 3! + 12 = 6 + 12 = 18
\)

\(
n^2 = 18 — n = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
\)

\(
m = 2: \quad 2! + 12 = 2 + 12 = 14
\)

\(
n^2 = 14 — n = \sqrt{14}
\)

\(
m = 1: \quad 1! + 12 = 1 + 12 = 13
\)

\(
n^2 = 13 — n = \sqrt{13}
\)

Только для \( m = 4 \) значение \( n \) является натуральным числом (\( n = 6 \)).

Итак, единственная подходящая пара:

\(
(m; n) = (4; 6)
\)

Ответ:
\(
(4; 6)
\)