ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.261 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что функции \( f \) и \( g \) являются взаимно обратными:

1) \( f(x) = \frac{1}{x — 2}, \quad g(x) = \frac{2x + 1}{x}; \)

2) \( f(x) = \frac{x}{x + 1}, \quad g(x) = \frac{x}{1 — x}. \)

Доказать, что функции взаимно обратны:

1)
\( f(x) = \frac{1}{x — 2}, \quad g(x) = \frac{2x + 1}{x}; \)

\(
x = \frac{1}{y — 2};
\)

\(
x(y — 2) = 1;
\)

\(
xy — 2x = 1;
\)

\(
xy = 1 + 2x;
\)

\(
y = \frac{2x + 1}{x};
\)

Что и требовалось доказать.

2)
\( f(x) = \frac{x}{x + 1}, \quad g(x) = \frac{x}{1 — x}; \)

\(
x = \frac{y}{y + 1};
\)

\(
x(y + 1) = y;
\)

\(
xy + x = y;
\)

\(
y — xy = x;
\)

\(
y(1 — x) = x;
\)

\(
y = \frac{x}{1 — x};
\)

Что и требовалось доказать.

Доказать, что функции взаимно обратны:

1)
Рассмотрим функции:
\( f(x) = \frac{1}{x — 2}, \quad g(x) = \frac{2x + 1}{x}; \)

Для доказательства взаимной обратимости найдем \( x \) через \( y \) для функции \( f \):
\(
y = f(x) = \frac{1}{x — 2}.
\)
Перепишем уравнение для нахождения \( x \):
\(
x = \frac{1}{y — 2}.
\)
Умножим обе стороны на \( y — 2 \):
\(
x(y — 2) = 1.
\)
Раскроем скобки:
\(
xy — 2x = 1.
\)
Переносим \( 2x \) на правую сторону:
\(
xy = 1 + 2x.
\)
Теперь выразим \( y \):
\(
y = \frac{2x + 1}{x}.
\)

Таким образом, мы получили, что \( g(x) = \frac{2x + 1}{x} \), что и требовалось доказать.

2)
Теперь рассмотрим функции:
\( f(x) = \frac{x}{x + 1}, \quad g(x) = \frac{x}{1 — x}; \)

Для доказательства взаимной обратимости найдем \( x \) через \( y \) для функции \( f \):
\(
y = f(x) = \frac{x}{x + 1}.
\)
Перепишем уравнение для нахождения \( x \):
\(
x = \frac{y}{y + 1}.
\)
Умножим обе стороны на \( y + 1 \):
\(
x(y + 1) = y.
\)
Раскроем скобки:
\(
xy + x = y.
\)
Переносим \( xy \) на правую сторону:
\(
y — xy = x.
\)
Вынесем \( y \) за скобки:
\(
y(1 — x) = x.
\)
Теперь выразим \( y \):
\(
y = \frac{x}{1 — x}.
\)

Таким образом, мы получили, что \( g(x) = \frac{x}{1 — x} \), что и требовалось доказать.