ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.262 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите функцию, обратную к данной:

1) \( y = 3x + 5; \)

2) \( y = \frac{4}{x — 1}; \)

3) \( y = 2 + \sqrt{x — 3}; \)

4) \( y = x^2, \quad x \in [2; +\infty). \)

Найти функцию, обратную к данной:

1)
\( y = 3x + 5; \)

Обратная функция:
\( x = 3y + 5; \)

\( 3y = x — 5; \)

\( y = \frac{x — 5}{3}; \)

Ответ:
\( y = \frac{x — 5}{3}. \)

2)
\( y = \frac{4}{x — 1}; \)

Обратная функция:
\( x = \frac{4}{y — 1}; \)

\( x(y — 1) = 4; \)

\( xy — x = 4; \)

\( xy = 4 + x; \)

\( y = \frac{x + 4}{x}; \)

Ответ:
\( y = \frac{x + 4}{x}. \)

3)
\( y = 2 + \sqrt{x — 3}; \)

Множество значений:
\( \sqrt{x — 3} \geq 0; \)

\( 2 + \sqrt{x — 3} \geq 2; \)

Обратная функция:
\( x = 2 + \sqrt{y — 3}; \)

\( \sqrt{y — 3} = x — 2; \)

\( y — 3 = (x — 2)^2 = x^2 — 4x + 4; \)

\( y = x^2 — 4x + 7; \)

Ответ:
\( y = x^2 — 4x + 7, \quad x \geq 2. \)

4)
\( y = x^2, \quad x \in [2; +\infty); \)

Множество значений:
\( x^2 \geq 4; \)

Обратная функция:
\( x = \sqrt{y}; \)

Ответ:
\( y = \sqrt{x}, \quad x \geq 4. \)

Найти функцию, обратную к данной:

1)
Рассмотрим функцию:
\( y = 3x + 5; \)

Для нахождения обратной функции, сначала выразим \( x \) через \( y \):
\(
x = 3y + 5.
\)
Теперь переставим уравнение так, чтобы выразить \( y \):
\(
3y = x — 5.
\)
Далее разделим обе стороны на 3:
\(
y = \frac{x — 5}{3}.
\)

Таким образом, мы получили обратную функцию:
Ответ:
\(
y = \frac{x — 5}{3}.
\)

2)
Теперь рассмотрим функцию:
\( y = \frac{4}{x — 1}; \)

Для нахождения обратной функции, начнем с того, чтобы выразить \( x \) через \( y \):
\(
x = \frac{4}{y — 1}.
\)
Умножим обе стороны на \( y — 1 \):
\(
x(y — 1) = 4.
\)
Раскроем скобки:
\(
xy — x = 4.
\)
Переносим \( x \) на правую сторону:
\(
xy = 4 + x.
\)
Теперь выразим \( y \):
\(
y = \frac{x + 4}{x}.
\)

Таким образом, мы получили обратную функцию:
Ответ:
\(
y = \frac{x + 4}{x}.
\)

3)
Рассмотрим функцию:
\( y = 2 + \sqrt{x — 3}; \)

Для нахождения обратной функции определим множество значений:
\(
\sqrt{x — 3} \geq 0.
\)
Это означает, что \( x — 3 \geq 0 \), следовательно, \( x \geq 3 \).
Также, поскольку \( 2 + \sqrt{x — 3} \geq 2 \), это подтверждает, что \( y \geq 2 \).

Теперь найдем обратную функцию. Начнем с того, чтобы выразить \( x \) через \( y \):
\(
x = 2 + \sqrt{y — 3}.
\)
Переписываем уравнение для нахождения \( y \):
\(
\sqrt{y — 3} = x — 2.
\)
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
\(
y — 3 = (x — 2)^2.
\)
Раскроем скобки:
\(
y — 3 = x^2 — 4x + 4.
\)
Теперь выразим \( y \):
\(
y = x^2 — 4x + 7.
\)

Таким образом, мы получили обратную функцию:
Ответ:
\(
y = x^2 — 4x + 7, \quad x \geq 3.
\)

4)
Рассмотрим функцию:
\( y = x^2, \quad x \in [2; +\infty); \)

Для нахождения обратной функции определим множество значений:
\(
x^2 \geq 4.
\)
Это подтверждает, что \( y \geq 4 \).

Теперь найдем обратную функцию. Начнем с того, чтобы выразить \( x \) через \( y \):
\(
x = \sqrt{y}.
\)

Таким образом, мы получили обратную функцию:
Ответ:
\(
y = \sqrt{x}, \quad x \geq 4.
\)