ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.264 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Функция \( g \) является обратной к функции \( f(x) = x^3 + x — 3 \). Решите уравнение \( g(x) = x^3 + x + 3 \).

Функция \( g(x) \) обратна функции:
\( f(x) = x^3 + x — 3; \)

Решение уравнения:
\( g(x) = x^3 + x + 3; \)

\( f(g(x)) = f(x^3 + x + 3); \)

\( x = (x^3 + x + 3)^3 + (x^3 + x + 3) — 3; \)

\( (x^3 + x + 3)^3 = -x^3; \)

\( x^3 + x + 3 = -x; \)

\( x^3 + 2x + 3 = 0; \)

\( (x + 1)(x^2 — x + 3) = 0; \)

\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 — 12 = -11; \)

\( D < 0, \quad \text{значит } x = -1; \)

Ответ:
\( -1. \)

Функция \( g(x) \) обратна функции:
\( f(x) = x^3 + x — 3; \)

Решение уравнения:
\( g(x) = x^3 + x + 3; \)

Для нахождения \( x \), подставим \( g(x) \) в функцию \( f \):
\(
f(g(x)) = f(x^3 + x + 3).
\)
Это дает нам уравнение:
\(
x = (x^3 + x + 3)^3 + (x^3 + x + 3) — 3.
\)

Теперь упростим уравнение, начиная с выражения \( (x^3 + x + 3)^3 \):
\(
(x^3 + x + 3)^3 = -x^3.
\)

Теперь подставим это обратно в уравнение:
\(
x^3 + x + 3 = -x.
\)
Переносим все члены на одну сторону:
\(
x^3 + 2x + 3 = 0.
\)

Теперь мы можем разложить это уравнение на множители. Попробуем найти корни:
\(
(x + 1)(x^2 — x + 3) = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант для квадратного уравнения \( x^2 — x + 3 \):
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 — 12 = -11.
\)

Так как дискриминант меньше нуля (\( D < 0 \)), это означает, что у квадратного уравнения нет действительных корней. Следовательно, единственный корень уравнения \( x^3 + 2x + 3 = 0 \) — это \( x = -1 \).

Ответ:
\(
-1.
\)