ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.266 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x^2 + 4x + 5a \) на множестве \( M = [-1; 1] \).

2) \( f(x) = x^2 — 4x \) на множестве \( M = [-1; a] \), где \( a > -1 \).

Найти наибольшее и наименьшее значения для данной функции:

1) \( f(x) = x^2 + 4x + 5a, \quad M = [-1; 1]; \)
Значения функции:
\( f(-1) = 1 — 4 + 5a = 5a — 3; \)
\( f(1) = 1 + 4 + 5a = 5a + 5; \)
Вершина параболы:
\( x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2; \)
Ответ:
\( y_{\min} = 5a — 3; \quad y_{\max} = 5a + 5. \)

2) \( f(x) = x^2 — 4x, \quad M = [-1; a], \quad a > -1; \)
Значения функции:
\( f(-1) = 1 + 4 = 5; \)
\( f(a) = a^2 — 4a; \)
Значения равны:
\( a^2 — 4a \leq 5; \)
\( a^2 — 4a — 5 = 0; \)
\( D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \) тогда:
\( a_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5; \)
\( (a + 1)(a — 5) \leq 0; \)
\( -1 \leq a \leq 5; \)
Вершина параболы:
\( x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2; \)
\( y_0 = 4 — 8 = -4; \)
Ответ:
— если \( -1 < a \leq 2\), то \( y_{\min} = a^2 — 4a \) и \( y_{\max} = 5; \)
— если \( 2 < a \leq 5\), то \( y_{\min} = -4 \) и \( y_{\max} = 5; \)
— если \( a > 5\), то \( y_{\min} = -4 \) и \( y_{\max} = a^2 — 4a. \)

Найти наибольшее и наименьшее значения для данной функции:

1) \( f(x) = x^2 + 4x + 5a, \quad M = [-1; 1]; \)
Значения функции:
\(
f(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 5a = 1 — 4 + 5a = 5a — 3;
\)
\(
f(1) = (1)^2 + 4(1) + 5a = 1 + 4 + 5a = 5a + 5;
\)
Вершина параболы находится по формуле:
\(
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2;
\)
Поскольку вершина параболы \( x_0 = -2 \) не принадлежит множеству \( M \), то наибольшее и наименьшее значения функции будут достигаться на границах интервала.
Ответ:
\(
y_{\min} = 5a — 3; \quad y_{\max} = 5a + 5.
\)

2) \( f(x) = x^2 — 4x, \quad M = [-1; a], \quad a > -1; \)
Значения функции:
\(
f(-1) = (-1)^2 — 4(-1) = 1 + 4 = 5;
\)
\(
f(a) = a^2 — 4a;
\)
Теперь необходимо решить неравенство:
\(
a^2 — 4a \leq 5;
\)
Перепишем его в стандартной форме:
\(
a^2 — 4a — 5 = 0;
\)
Для нахождения корней используем дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36,
\)
тогда корни уравнения:
\(
a_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5;
\)
Решая неравенство \( (a + 1)(a — 5) \leq 0; \), получаем:
\(
-1 \leq a \leq 5;
\)
Теперь найдём вершину параболы:
\(
x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2;
\)
Значение функции в вершине:
\(
y_0 = (2)^2 — 4(2) = 4 — 8 = -4;
\)
Ответ:
— если \( -1 < a \leq 2 \), то \( y_{\min} = a^2 — 4a \) и \( y_{\max} = 5; \)
— если \( 2 < a \leq 5 \), то \( y_{\min} = -4 \) и \( y_{\max} = 5; \)
— если \( a > 5 \), то \( y_{\min} = -4 \) и \( y_{\max} = a^2 — 4a. \)