ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.267 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = -x^2 + 6x — 2a \) на множестве \( M = [0; 4] \).

2) \( f(x) = 2x — x^2 \) на множестве \( M = [a; 2] \), где \( a < 2 \).

Найти наибольшее и наименьшее значения для данной функции:

1) \( f(x) = -x^2 + 6x — 2a, \quad M = [0; 4]; \)
Значения функции:
\( f(0) = -0 + 0 — 2a = -2a; \)
\( f(4) = -16 + 24 — 2a = 8 — 2a; \)
Вершина параболы:
\(
x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{-2} = 3;
\)
\(
y_0 = -9 + 18 — 2a = 9 — 2a;
\)
Ответ:
\(
y_{\min} = -2a; \quad y_{\max} = 9 — 2a.
\)

2) \( f(x) = 2x — x^2, \quad M = [a; 2], \quad a < 2; \)
Значения функции:
\( f(a) = 2a — a^2; \)
\( f(2) = 4 — 4 = 0; \)
Значения равны:
\(
2a — a^2 \leq 0;
\)
\(
a(a — 2) \geq 0;
\)
\(
a \leq 0, \quad a \geq 2;
\)
Вершина параболы:
\(
x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = 1;
\)
\(
y_0 = 2 — 1 = 1;
\)
Ответ:
— если \( a < 0 \), то \( y_{\min} = 2a — a^2 \) и \( y_{\max} = 1; \)
— если \( 0 \leq a \leq 1 \), то \( y_{\min} = 0 \) и \( y_{\max} = 1; \)
— если \( 1 < a < 2 \), то \( y_{\min} = 0 \) и \( y_{\max} = 2a — a^2. \)

Найти наибольшее и наименьшее значения для данной функции:

1) \( f(x) = -x^2 + 6x — 2a, \quad M = [0; 4]; \)
Значения функции:
\(
f(0) = -0^2 + 6 \cdot 0 — 2a = -2a;
\)
\(
f(4) = -4^2 + 6 \cdot 4 — 2a = -16 + 24 — 2a = 8 — 2a;
\)
Вершина параболы находится по формуле:
\(
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{-2} = 3;
\)
Значение функции в вершине:
\(
y_0 = -x_0^2 + 6x_0 — 2a = -9 + 18 — 2a = 9 — 2a;
\)
Ответ:
\(
y_{\min} = -2a; \quad y_{\max} = 9 — 2a.
\)

2) \( f(x) = 2x — x^2, \quad M = [a; 2], \quad a < 2; \)
Значения функции:
\(
f(a) = 2a — a^2;
\)
\(
f(2) = 2 \cdot 2 — 2^2 = 4 — 4 = 0;
\)
Теперь решим неравенство:
\(
2a — a^2 \leq 0;
\)
Перепишем его в стандартной форме:
\(
-a^2 + 2a \leq 0;
\)
Это можно записать как:
\(
-a(a — 2) \geq 0;
\)
Таким образом, получаем:
\(
a(a — 2) \leq 0;
\)
Решая это неравенство, находим, что:
\(
a \leq 0, \quad a \geq 2.
\)
Вершина параболы находится по формуле:
\(
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = 1;
\)
Значение функции в вершине:
\(
y_0 = f(1) = 2 \cdot 1 — 1^2 = 2 — 1 = 1;
\)
Ответ:
— если \( a < 0 \), то \( y_{\min} = 2a — a^2 \) и \( y_{\max} = 1; \)
— если \( 0 \leq a \leq 1 \), то \( y_{\min} = 0 \) и \( y_{\max} = 1; \)
— если \( 1 < a < 2 \), то \( y_{\min} = 0 \) и \( y_{\max} = 2a — a^2. \)