ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.268 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Определите, сколько корней в зависимости от значения параметра } a
\)
\(
\text{ имеет уравнение } |x^2 — 6|x| + 8| = a.
\)

Найти количество корней:
\(
|x^2 — 6|x| + 8| = a;
\)

1) Построим график функции:
\(
y = x^2 — 6x + 8;
\)
\(
x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3;
\)
\(
y_0 = 9 — 18 + 8 = -1;
\)
\(
y(0) = 0 — 0 + 8 = 8;
\)
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4;
\)

2) Выполним преобразования:
— Уберем часть графика слева от оси ординат;
— Отразим график относительно оси ординат;
— Отразим часть графика под осью абсцисс;

3) График функции:

Ответ:
— если \(a < 0\), то корней нет;
— если \(a = 0\) или \(1 < a < 8\), то 4 корня;
— если \(0 < a < 1\), то 8 корней;
— если \(a = 1\), то 6 корней;
— если \(a = 8\), то 3 корня;
— если \(a > 8\), то 2 корня.

Найти количество корней:
\(
|x^2 — 6|x| + 8| = a;
\)

1) Построим график функции:
\(
y = x^2 — 6x + 8;
\)
Вершина параболы находится по формуле:
\(
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3;
\)
Теперь найдем значение функции в вершине:
\(
y_0 = (3)^2 — 6 \cdot 3 + 8 = 9 — 18 + 8 = -1;
\)
Также вычислим значение функции при \(x = 0\):
\(
y(0) = (0)^2 — 6 \cdot 0 + 8 = 0 — 0 + 8 = 8;
\)
Теперь найдем дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4,
\)
так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня:
\(
x_1 = \frac{6 — 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4;
\)

2) Выполним преобразования:
— Уберем часть графика слева от оси ординат;
— Отразим график относительно оси ординат;
— Отразим часть графика под осью абсцисс;

3) График функции будет выглядеть следующим образом:

Ответ:
— если \(a < 0\), то корней нет;
— если \(a = 0\) или \(1 < a < 8\), то есть 4 корня;
— если \(0 < a < 1\), то есть 8 корней;
— если \(a = 1\), то есть 6 корней;
— если \(a = 8\), то есть 3 корня;
— если \(a > 8\), то есть 2 корня.