ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.269 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Определите, сколько корней в зависимости от значения параметра } a
\)
\(
\text{ имеет уравнение } |x^2 + 2|x — 2| — 4| = a.
\)

Найти количество корней:
\(
|x^2 + 2|x — 2| — 4| = a;
\)

1) Если \(x \geq 2\), тогда:
\(
y = x^2 + 2(x — 2) — 4;
\)
\(
y = x^2 + 2x — 8;
\)

\(
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -\frac{2}{2} = -1;
\)

\(
y_0 = (-1)^2 + 2(-1) — 8 = 1 — 2 — 8 = -9;
\)

\(
y(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 — 8 = 0 + 0 — 8 = -8;
\)

\(
D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36,
\)

\(
x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2;
\)

2) Если \(x < 2\), тогда:
\(
y = x^2 — 2(x — 2) — 4;
\)
\(
y = x^2 — 2x + 4 — 4 = x^2 — 2x;
\)

\(
x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1;
\)

\(
y_0 = (1)^2 — 2(1) = 1 — 2 = -1;
\)

\(
y(0) = 0^2 — 2 \cdot 0 = 0;
\)

\(
x(x — 2) = 0;
\)

\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 2;
\)

3) Выполним преобразования:
— Объединим графики данных функций;
— Отразим часть графика под осью абсцисс;

4) График функции:

Ответ:
— если \(a < 0\), то корней нет;
— если \(a = 0\) или \(a > 1\), то 2 корня;
— если \(0 < a < 1\), то 4 корня;
— если \(a = 1\), то 3 корня.

Найти количество корней:
\(
|x^2 + 2|x — 2| — 4| = a;
\)

1) Если \(x \geq 2\), тогда:
\(
y = x^2 + 2(x — 2) — 4;
\)
Раскроем скобки:
\(
y = x^2 + 2x — 4 — 4 = x^2 + 2x — 8;
\)
Вершина параболы находится по формуле:
\(
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -\frac{2}{2} = -1;
\)
Значение функции в вершине:
\(
y_0 = (-1)^2 + 2(-1) — 8 = 1 — 2 — 8 = -9;
\)
Также вычислим значение функции при \(x = 0\):
\(
y(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 — 8 = 0 + 0 — 8 = -8;
\)
Теперь найдем дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36,
\)
так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня:
\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 — 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4,
\)
\(
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2;
\)

2) Если \(x < 2\), тогда:
\(
y = x^2 — 2(x — 2) — 4;
\)
Раскроем скобки:
\(
y = x^2 — 2x + 4 — 4 = x^2 — 2x;
\)
Вершина параболы находится по формуле:
\(
x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1;
\)
Значение функции в вершине:
\(
y_0 = (1)^2 — 2(1) = 1 — 2 = -1;
\)
Также вычислим значение функции при \(x = 0\):
\(
y(0) = 0^2 — 2 \cdot 0 = 0;
\)
Уравнение имеет вид:
\(
x(x — 2) = 0;
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 2;
\)

3) Выполним преобразования:
— Объединим графики данных функций, учитывая, что для \(x < 2\) функция принимает вид \(y = x^2 — 2x\), а для \(x \geq 2\) — \(y = x^2 + 2x — 8\);
— Отразим часть графика под осью абсцисс.

4) График функции:

Ответ:
— если \(a < 0\), то корней нет;
— если \(a = 0\) или \(a > 1\), то уравнение имеет два корня;
— если \(0 < a < 1\), то уравнение имеет четыре корня;
— если \(a = 1\), то уравнение имеет три корня.