ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите все двузначные натуральные числа, любая натуральная степень которых оканчивается двумя цифрами, образующими это двузначное число.

Пусть \(\overline{ab}\) — данное число, тогда:

\(
(\overline{ab})^n = \ldots ab;
\)

1) Для однозначных чисел:

\(
5 \cdot 5 = 25, \quad 6 \cdot 6 = 36;
\)

2) Оканчивается на 5:

\(
(10a + 5)(10a + 5);
\)
\(
100a^2 + 100a + 25;
\)
\(
10a + 5 = 25;
\)
\(
10a = 20;
\)
\(
a = 2, \quad b = 5;
\)

3) Оканчивается на 6:

\(
(10a + 6)(10a + 6);
\)
\(
100a^2 + 120a + 36;
\)
\(
100(a^2 + a) + (20a + 36);
\)
\(
10a + 6 = 20a + 36;
\)
\(
10a = -30, \quad a = -3;
\)
\(
10a + 6 = 20a + 36 — 100;
\)
\(
10a = 70, \quad a = 7, \quad b = 6;
\)

Ответ: \(25; 76.\)

Пусть \(\overline{ab}\) — двузначное число, тогда:

\(
(\overline{ab})^n = \ldots ab;
\)

То есть, требуется найти такие числа, квадрат которых оканчивается на те же две цифры, что и само число.

1) Рассмотрим однозначные числа:

\(
5 \cdot 5 = 25, \quad 6 \cdot 6 = 36;
\)

Они подходят, потому что их квадраты оканчиваются на те же цифры.

2) Рассмотрим числа, оканчивающиеся на 5. Пусть число имеет вид \(10a + 5\):

\(
(10a + 5)^2 = (10a + 5)(10a + 5) = 100a^2 + 100a + 25
\)

Нам нужно, чтобы последние две цифры результата совпадали с исходным числом, то есть:

\(
100a^2 + 100a + 25 \equiv 10a + 5 \pmod{100}
\)

Но поскольку \(100a^2 + 100a\) делится на 100, сравнение сводится к:

\(
25 \equiv 10a + 5 \pmod{100}
\)

То есть:

\(
10a + 5 = 25
\)
\(
10a = 20
\)
\(
a = 2
\)

Следовательно, число \(10a + 5 = 25\).

3) Рассмотрим числа, оканчивающиеся на 6. Пусть число имеет вид \(10a + 6\):

\(
(10a + 6)^2 = (10a + 6)(10a + 6) = 100a^2 + 120a + 36
\)

Разделим выражение на сотни и остаток:

\(
100(a^2 + a) + (20a + 36)
\)

Последние две цифры квадрата — это \(20a + 36\). Требуется, чтобы:

\(
20a + 36 \equiv 10a + 6 \pmod{100}
\)

То есть:

\(
20a + 36 = 10a + 6 + 100k
\)
\(
10a = -30 + 100k
\)

Пробуем \(k = 0\):

\(
10a = -30 — a = -3
\)

Это не подходит, так как \(a\) — цифра.

Пробуем \(k = 1\):

\(
10a = 70 — a = 7
\)

В этом случае число равно \(10a + 6 = 76\).

Ответ: \(25; 76\).