ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.278 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии \( (a_n) \), если:

1) \( a_1 = 6, \quad a_{14} = 45; \)

2) \( a_6 = 34, \quad a_{14} = -54. \)

Найти сумму десяти первых членов:

1)
\(a_1 = 6, \quad a_{14} = 45;\)
\(a_{14} = a_1 + 13d;\)
\(6 + 13d = 45;\)
\(13d = 39, \quad d = 3;\)
\(a_{10} = a_1 + 9d = 6 + 9 \cdot 3 = 33;\)
\(
S = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = 5(6 + 33) = 195;
\)
Ответ: 195.

2)
\(a_6 = 34, \quad a_{14} = -54;\)
\(a_6 = a_1 + 5d, \quad a_{14} = a_1 + 13d;\)
\(a_{14} — a_6 = 8d;\)
\(8d = -54 — 34;\)
\(8d = -88, \quad d = -11;\)
\(a_1 = a_6 — 5d = 34 — 5 \cdot (-11) = 89;\)
\(a_{10} = a_1 + 9d = 89 + 9 \cdot (-11) = -10;\)
\(
S = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = 5(89 — 10) = 395;
\)
Ответ: 395.

Найти сумму десяти первых членов:

1)
\(a_1 = 6, \quad a_{14} = 45;\)
Согласно формуле для общего члена арифметической прогрессии:
\(a_{14} = a_1 + 13d;\)
Подставим известные значения:
\(6 + 13d = 45;\)
Решим уравнение для \(d\):
\(13d = 45 — 6;\)
\(13d = 39, \quad d = \frac{39}{13} = 3;\)
Теперь найдём 10-й член прогрессии \(a_{10}\):
\(a_{10} = a_1 + 9d = 6 + 9 \cdot 3 = 6 + 27 = 33;\)
Теперь можем найти сумму первых 10 членов \(S\):
\(
S = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{6 + 33}{2} \cdot 10 = \frac{39}{2} \cdot 10 = 5 \cdot 39 = 195;
\)
Ответ: 195.

2)
\(a_6 = 34, \quad a_{14} = -54;\)
Согласно формуле для общего члена арифметической прогрессии:
\(a_6 = a_1 + 5d, \quad a_{14} = a_1 + 13d;\)
Вычтем первое уравнение из второго:
\(a_{14} — a_6 = (a_1 + 13d) — (a_1 + 5d) = 8d;\)
Подставим известные значения:
\(-54 — 34 = 8d;\)
\(-88 = 8d, \quad d = \frac{-88}{8} = -11;\)
Теперь найдём \(a_1\):
\(a_1 = a_6 — 5d = 34 — 5 \cdot (-11) = 34 + 55 = 89;\)
Теперь найдём \(a_{10}\):
\(a_{10} = a_1 + 9d = 89 + 9 \cdot (-11) = 89 — 99 = -10;\)
Теперь можем найти сумму первых 10 членов \(S\):
\(
S = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{89 + (-10)}{2} \cdot 10 = \frac{79}{2} \cdot 10 = 5 \cdot 79 = 395;
\)
Ответ: 395.