Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Вот условие задачи, где все квадратные скобки заменены на круглые:
Докажите, что для всех натуральных значений \( n \) дробь
\(
\frac{2n^2 + 5n + 3}{3n^2 + 10n + 8}
\)
несократима.
Доказать, что дробь несократима:
\(
\frac{2n^2 + 5n + 3}{3n^2 + 10n + 8}
\)
1) Числитель дроби:
\(
2n^2 + 5n + 3 = 0
\)
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 — 24 = 1
\)
тогда:
\(
n_1 = \frac{-5 — 1}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{2}
\)
\(
n_2 = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 2} = -1
\)
2) Знаменатель дроби:
\(
3n^2 + 10n + 8 = 0
\)
\(
D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 — 96 = 4
\)
тогда:
\(
n_1 = \frac{-10 — 2}{2 \cdot 3} = -2
\)
\(
n_2 = \frac{-10 + 2}{2 \cdot 3} = -\frac{4}{3}
\)
3) Данная дробь:
\(
\frac{2n^2 + 5n + 3}{3n^2 + 10n + 8} = \frac{(2n + 3)(n + 1)}{(3n + 4)(n + 2)}
\)
\(
\text{НОД}(2n + 3, n + 2) = \text{НОД}(n + 1, n + 2) = \text{НОД}(n + 1, 1) = 1
\)
\(
\text{НОД}(2n + 3, 3n + 4) = \text{НОД}(2n + 3, n + 1) = \text{НОД}(n + 2, n + 1) = 1
\)
\(
\text{НОД}(n + 1, 3n + 4) = \text{НОД}(n + 1, 2n + 3) = \text{НОД}(n + 1, n + 2) = 1
\)
Что и требовалось доказать.
Доказать, что дробь несократима:
\(
\frac{2n^2 + 5n + 3}{3n^2 + 10n + 8}
\)
1) Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель:
\(
2n^2 + 5n + 3
\)
Рассмотрим квадратное уравнение:
\(
2n^2 + 5n + 3 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 — 24 = 1
\)
Корни уравнения:
\(
n_1 = \frac{-5 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}
\)
\(
n_2 = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1
\)
Тогда числитель разлагается на множители:
\(
2n^2 + 5n + 3 = 2n^2 + 2n + 3n + 3 = 2n(n + 1) + 3(n + 1) =
\)
\(
= (n + 1)(2n + 3)
\)
2) Разложим знаменатель:
\(
3n^2 + 10n + 8
\)
Рассмотрим квадратное уравнение:
\(
3n^2 + 10n + 8 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 — 96 = 4
\)
Корни уравнения:
\(
n_1 = \frac{-10 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2
\)
\(
n_2 = \frac{-10 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}
\)
Тогда знаменатель разлагается на множители:
\(
3n^2 + 10n + 8 = 3n^2 + 6n + 4n + 8 = 3n(n + 2) + 4(n + 2) =
\)
\(
= (n + 2)(3n + 4)
\)
3) Подставим разложения в исходную дробь:
\(
\frac{2n^2 + 5n + 3}{3n^2 + 10n + 8} = \frac{(n + 1)(2n + 3)}{(n + 2)(3n + 4)}
\)
4) Докажем, что дробь несократима, то есть не существует общего делителя у числителя и знаменателя, кроме 1.
Рассмотрим попарно возможные пары множителей из числителя и знаменателя:
а) \(\text{НОД}(n + 1, n + 2)\):
Так как \(n + 2 = (n + 1) + 1\), то их наибольший общий делитель равен 1:
\(
\text{НОД}(n + 1, n + 2) = 1
\)
б) \(\text{НОД}(n + 1, 3n + 4)\):
Заметим, что \(3n + 4 = 3(n + 1) + 1\). Тогда:
\(
\text{НОД}(n + 1, 3n + 4) = \text{НОД}(n + 1, 1) = 1
\)
в) \(\text{НОД}(2n + 3, n + 2)\):
\(2n + 3 = 2(n + 2) — 1\), тогда:
\(
\text{НОД}(2n + 3, n + 2) = \text{НОД}(n + 2, 1) = 1
\)
г) \(\text{НОД}(2n + 3, 3n + 4)\):
\(3n + 4 = 1 \cdot (2n + 3) + (n + 1)\), поэтому:
\(
\text{НОД}(2n + 3, 3n + 4) = \text{НОД}(2n + 3, n + 1)
\)
\(2n + 3 = 2(n + 1) + 1\), значит:
\(
\text{НОД}(2n + 3, n + 1) = \text{НОД}(n + 1, 1) = 1
\)
5) Таким образом, ни одна пара множителей не имеет общего делителя, отличного от 1.
Следовательно, дробь несократима:
\(
\frac{2n^2 + 5n + 3}{3n^2 + 10n + 8} \text{ несократима}
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.